XXI OM - I -Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ M $, $ a_1, a_2, \ldots, a_10 $. Udowodnić, że jeżeli $ a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_{10}x_{10} \leq M $ dla wszystkich takich $ x_i $, że $ |x_i| = 1 $ ($ i = 1, 2, \ldots, 10 $), to

\[<br />
\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{10}^2} \leq M.<br />
\]

Rozwiązanie

Jeśli $ a_i \geq 0 $, to podstawiamy do danej nierówności $ x_i = 1 $, a jeśli $ a_i < 0 $, to podstawiamy $ x_i = - 1 $ przy $ i = 1, 2, \ldots, 10 $. Otrzymamy wtedy

\[<br />
|a_1| + |a_2| + \ldots + |a_{10}| \leq M.<br />
\]

Z nierówności tej wynika, że $ |a_i| \leq M $ dla $ i = 1, 2, \ldots, 10 $. Stąd $ |a_i|^2 \leq |a_i|M $ i wobec tego

\[<br />
\sum_{i=1}^{10} a_i^2 = \sum_{i=1}^{10} |a_i|^2 \leq<br />
\sum_{i=1}^{10} |a_i| M = M \sum_{i=1}^{10} |a_i| \leq M^2.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\sqrt{\sum_{i=1}^{10} a_i^2} \leq M.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź