XXI OM - I -Zadanie 6

Udowodnić, że liczba rzeczywista $ a $ jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite $ p > n > m \leq 0 $, że $ a + m, a + n, a + p $ tworzą ciąg geometryczny.

Rozwiązanie

Niech $ a $ będzie liczbą wymierną. Obieramy taką liczbę naturalną $ m $, że $ a + m > 0 $. Wtedy

\[<br />
a + m = \frac{r}{q},<br />
\]

gdzie $ r $ i $ q $ są liczbami naturalnymi.

Rozpatrzmy ciąg geometryczny o ilorazie $ 1 + q $ i pierwszym wyrazie $ \frac{r}{q} $. Zatem kolejnymi wyrazami ciągu będą r

\[<br />
\frac{r}{q} = a + m,<br />
\]
\[<br />
\frac{r}{q} (1 + q) = \frac{r}{q} + r = a + m + r,<br />
\]
\[<br />
\frac{r}{q} (1 + q)^2 = \frac{r}{q} (1 + 2q + q^2) = \frac{r}{q} +2r + rq = a + m + 2r + rq.<br />
\]

Przyjmując więc $ n = m + r $ i $ p = m + 2r + rq $ stwierdzamy, że $ m $, $ n $, $ p $ są liczbami całkowitymi spełniającymi warunek $ 0 \leq m < n < p $. Ponadto liczby $ a + m $, $ a + n $, $ a + p $ tworzą ciąg geometryczny.

Na odwrót przypuśćmy, że liczby całkowite $ m $, $ n $, $ p $ spełniają warunek $ 0 \leq m< n <p $ oraz, że dla pewnej liczby rzeczywistej $ a $ liczby $ a + m $, $ a + n $, $ a + p $ tworzą ciąg geometryczny.

Oznaczmy przez $ 1 + q $ iloraz tego ciągu. Wtedy

\[<br />
a + n = (a + m)(1 + q) = (a + m) + ( a + m)q,<br />
\]
\[<br />
a + p = (a + m)(1 + q)^2 = (a + m) + 2(a + m)q + (a + m)q^2.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad  (a + m)q = n - m<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  (a + m)q^2 = p-m - 2(a + m)q = p-m-2(n-m)=p+m-2n.<br />
\]

Ponieważ $ n > m $, więc z (1) wynika, $ a + m \ne 0 $ i $ q \ne 0 $. Dzieląc stronami (2) i (1) otrzymujemy, że

\[<br />
q = \frac{p+m-2n}{n-m}, \textrm{ a więc } q \textrm{ jest liczbą wymierną}.<br />
\]

Wobec tego z (1) wynika, że $ a = \frac{n-m}{q} -m  $ jest również liczbą wymierną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź