XXI OM - I -Zadanie 7

W równoległoboku $ ABCD $ połączono punkt $ A $ ze środkiem $ A' $ boku $ \overline{BC} $, punkt $ B $ ze środkiem $ B' $ boku $ \overline{CD} $, punkt $ C $ ze środkiem $ C' $ boku $ \overline{DA} $ oraz punkt $ D $ ze środkiem $ D' $ boku $ \overline{AB} $. Udowodnić, że punkty przecięcia prostych $ AA' $ i $ BB' $; $ BB' $ i $ CC' $; $ CC' $ i $ DD' $; $ DD' $ i $ AA' $ są wierzchołkami czworokąta o polu 5 razy mniejszym od pola równoległoboku $ ABCD $.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy trójkąty $ ADD' $ i $ CBB' $ (rys. 5). Są one przystające, ponieważ $ AD' = CB' $, $ AD = CB $ i $ \measuredangle D'AD = \measuredangle B'CB $.

Zatem $ \measuredangle AD'D = \measuredangle CB'B $. Wynika stąd, że proste $ DD' $ i $ BB' $ są równoległe. Analogicznie dowodzimy, że proste $ AA' $ i $ CC' $ też są równoległe. Zatem czworokąt $ PQRS $ jest równoległobokiem. Rozpatrzmy trójkąty $ APD' $ i $ AQB $. Są one podobne ponieważ $ \measuredangle PAD' = \measuredangle QAB $ (kąt wspólny) oraz $ \measuredangle AD'P = \measuredangle ABQ $ (kąty odpowiadające).

Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad  \frac{D'P}{BQ} = \frac{AD'}{AB} = \frac{1}{2}.<br />
\]

Stosując twierdzenie Talesa do kąta $ \measuredangle B'BC $ otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad  \frac{BQ}{QR} = \frac{BA'}{A'C} = 1.<br />
\]

Stosując twierdzenie Talesa do kąta $ \measuredangle ADP $ otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad  \frac{PS}{SD} = \frac{AC'}{C'D} = 1.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika, że $ D'P = \frac{1}{2} BQ = \frac{1}{2} QR $.

Wiemy ponadto z (3), że $ PS = SD $ oraz, że $ QR = PS $, ponieważ $ PQRS $ jest równoległobokiem.

Wobec tego $ D'D = D'P + PS + SD = \frac{1}{2} QR + QR + QR = \frac{5}{2} QR = \frac{5}{2} $.

Stąd $ S_{DD'BB'} = \frac{5}{2} S_{PQRS} $, ponieważ równoległoboki $ DD'BB' $ i $ PQRS $ mają jednakowe wysokości, a podstawa pierwszego z nich jest $ \frac{5}{2} $ razy większa niż podstawa drugiego.

Analogicznie stwierdzamy, że $ S_{DD'BB'} = \frac{1}{2} S_{ABCD} $. Z ostatnich dwóch równości otrzymujemy, że

\[<br />
S_{PQRS} = \frac{1}{5} S_{ABCD}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź