XXI OM - I -Zadanie 8

Na stole bilardowym w kształcie kwadratu znajduje się kula. Kulą pchnięto tak, że odbiła się od bandy (kąt padania równa się kątowi odbicia) pod kątem $ \alpha $. Dowieść, że kula będzie sią poruszać po łamanej zamkniętej wtedy i tylko wtedy, gdy $ \tan \alpha $. jest liczbą wymierną. Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

Rozwiązanie

Załóżmy dla uproszczenia, że stół bilardowy jest kwadratem o wierzchołkach w punktach $ A(0, 0) $, $ B(1, 0) $, $ C(1, 1) $, $ D(0, 1) $ (rys. 6). Niech w chwili początkowej kula znajduje się w punkcie $ P(a, b) $, gdzie $ 0 < a < 1 $, $ 0 < b < 1 $.

Oznaczmy przez $ v $ prędkość, z jaką się ona porusza w chwili początkowej, a przez $ \alpha $ - kąt, jaki tworzy kierunek jej ruchu z osią $ x $. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że $ 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ $. Jeśli $ \alpha = 0^\circ $ lub $ \alpha = 90^\circ $, to kula porusza się po odcinku równoległym do osi $ x $ lub $ y $. Załóżmy więc, że $ 0^\circ  < \alpha < 90^\circ  $.

Rozpatrzmy rzuty $ P_x = P_x (t) $ i $ P_y = P_y (t) $ odpowiednio na oś $ x $ i $ y $ punktu, w którym znajduje się kula w chwili $ t $. Z warunków zadania wynika, że punkt $ P_x $ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością $ v_1 = v \cos \alpha $ po odcinku $ \langle 0,\ 1 \rangle $ na osi $ x $ z tym, że po każdym odbiciu kuli od boku $ \overline{BC} $ lub $ \overline{AD} $ kierunek ruchu punktu $ P_x $ zostaje zmieniony na przeciwny. Zatem w chwili $ t_1 = \frac{2}{v_1} = \frac{2}{v \cos \alpha} $ punkt $ P_x $ po dwukrotnym obiegu odcinka $ \langle 0,\ 1 \rangle $ na osi $ x $ znajdzie się w punkcie początkowym i kierunek jego ruchu będzie taki sam, jak na początku.

Ogólnie, w chwili $ t_n = \frac{2n}{v \cos \alpha} $, gdzie $ n = 1, 2, \ldots $, punkt $ P_x $ będzie się znajdował w punkcie początkowym i kierunek jego ruchu będzie taki sam, jak na początku.

Analogicznie dowodzimy, że w chwili $ t_m' = \frac{2m}{v_1} = \frac{2m}{v \sin \alpha} $, gdzie $ m = 1,2, \ldots $, punkt $ P_y $, znajdzie się w punkcie początkowym i kierunek jego ruchu będzie taki sam, jak na początku.

Wobec tego kula powróci do punktu początkowego i kierunek jej ruchu będzie taki sam, jak w chwili początkowej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka chwila $ t $, że zarówno punkt $ P_x $, jak i $ P_y $ będą w tej chwili znajdowały się w położeniu początkowym i kierunek ich ruchu będzie taki sam, jak na początku. Jest to równoważne temu, że istnieją takie liczby naturalne $ n $ i $ m $, że $ t = t_n $ i $ t = t'_m $, tzn.

\[<br />
(1) \qquad  \frac{2n}{v \cos \alpha}= \frac{2m}{v \sin \alpha}<br />
\]

Stąd $ \tg \alpha = \frac{m}{n} $ jest liczbą wymierną.

Na odwrót, gdy $ \tg \alpha = \frac{p}{q} $ jest liczbą wymierną, to wystarczy przyjąć $ n = p $ i $ m = q $ i wtedy warunek (1) będzie spełniony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź