XXI OM - I -Zadanie 11

Udowodnić, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w co najmniej jednym z nich istnieją dwa punkty odległe o 1.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie to jest fałszywe. Rozpatrzmy trójkąty równoboczne $ ABC $ i $ ABD $ (rys. 7) o wspólnej podstawie $ \overline{AB} $ i boku równym $ 1 $. Z naszego przypuszczenia wynika, że każdy z wierzchołków trójkąta $ ABC $ należy do innego z trzech różnych podzbiorów, na które podzieliliśmy płaszczyznę. Podobnie każdy z wierzchołków trójkąta $ ABD $ należy do innego z trzech różnych zbiorów, na które podzieliliśmy płaszczyznę. Wobec tego punkty $ C $ i $ D $ należą do tego samego zbioru. Odległość tych punktów równa jest $ \sqrt{3} $.

Z powyższego rozumowania wynika, że każde dwa punkty płaszczyzny odległe o $ \sqrt{3} $ należą do tego samego podzbioru. Można je bowiem traktować jako wierzchołki odpowiednich trójkątów równobocznych o wspólnej podstawie i o boku $ 1 $.

Rozpatrzmy teraz trójkąt $ PQR $ (rys. 8) o bokach $ \sqrt{3} $, $ \sqrt{3} $, $ 1 $. Z powyższego wynika, że punkty $ P $ i $ Q $ oraz $ O $ i $ R $ należą do tego samego zbioru. Wobec tego również punkty $ P $ i $ R $ należą do tego samego zbioru. Są one jednak odległe o $ 1 $, co przeczy naszemu pierwotnemu przypuszczeniu.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że rozważane twierdzenie jest prawdziwe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź