XXI OM - I -Zadanie 12

Znaleźć najmniejszą liczbę dodatnią $ r $ o tej własności, że w czworościanie foremnym o krawędzi długości 1 istnieją takie cztery punkty, że odległość dowolnego punktu czworościanu od któregoś z nich jest $ \leq r $.

Rozwiązanie

Niech $ O $ będzie środkiem kuli opisanej na czworościanie foremnym $ ABCD $ o krawędzi $ 1 $ (rys. 9). Promień kuli opisanej na $ ABCD $ jest równy $ R = \frac{1}{4} \sqrt{6} $. Czworościan $ ABCD $ dzielimy na czworościany o wierzchołkach: $ O $, jednym z wierzchołków czworościanu, środku jednej z krawędzi wychodzących z tego wierzchołka czworościanu, spodku wysokości na jednej ze ścian zawierających tę krawędź. Ponieważ z każdego z $ 4 $ wierzchołków czworościanu wychodzą $ 3 $ krawędzie, a każda z nich należy do dwóch ścian czworościanu, więc liczba rozpatrywanych czworościanów równa jest $ 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 $.

Udowodnimy, że każdy z tych $ 24 $ czworościanów jest wpisany w jedną z czterech kul o promieniu $ \frac{R}{2} $ i o środkach $ P_A $, $ P_B $, $ P_C $, $ P_D $ będących odpowiednio środkami odcinków $ \overline{OA} $, $ \overline{OB} $, $ \overline{OC} $, $ \overline{OD} $. Niech $ E $ będzie środkiem krawędzi $ \overline{AB} $, zaś $ F $ spodkiem wysokości opuszczonej z punktu $ D $ na płaszczyznę trójkąta $ ABC $. Rozpatrzmy czworościan $ AEFO $. Ponieważ kąt $ AFO $ jest prosty, więc $ P_AF = AP_A = OP_A = \frac{R}{2} $.

Podobnie, aby dowieść, że $ P_AE = \frac{1}{2} R $, wystarczy stwierdzić, że kąt $ AEO $ jest prosty. Wynika to z faktu, że płaszczyzna wyznaczona przez punkty $ D $, $ E $, $ F $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{AB} $, ponieważ $ DE \bot AB $, $ CE \bot AB $ oraz $ S \in CE $.

W ten sposób dowodzimy, że każdy z $ 6 $ czworościanów, których jednym z wierzchołków jest $ A $, jest zawarty w kuli o środku $ P_A $ i promieniu $ \frac{R}{2} $. Z symetrii wynika, że również pozostałe czworościany są zawarte w odpowiednich kulach o promieniu $ \frac{R}{2} $.

Zatem każdy punkt czworościanu $ ABCD $ jest odległy od któregoś z punktów $ P_A $, $ P_B $, $ P_C $, $ P_D $ nie więcej niż o $ \frac{R}{2} $.

Przypuśćmy, że pewne punkty $ Q_1 $, $ Q_2 $, $ Q_3 $, $ Q_4 $ i liczba $ S $ mają tę własność, że każdy punkt czworościanu $ ABCD $ jest odległy od któregoś z punktów $ Q_1 $, $ Q_2 $, $ Q_3 $, $ Q_4 $ nie więcej niż o $ S $. W szczególności każdy z pięciu punktów $ O $, $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ jest odległy od któregoś z punktów $ Q_1 $, $ Q_2 $, $ Q_3 $, $ Q_4 $ nie więcej niż o $ S $. Zatem dwa spośród punktów $ O $, $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ są odległe od pewnego punktu $ Q_i $ nie więcej niż o $ S $. Jeśli punktami tymi są wierzchołki czworościanu, np. $ A $ i $ B $, to otrzymujemy, że $ 1 = AB \leq AQ_i + BQ_i \leq 2S $, czyli $ S \geq \frac{1}{2} $. Jeśli zaś punktami tymi są $ O $ i jeden z wierzchołków czworościanu, np. $ A $, to otrzymujemy $ R = OA \leq OQ_i+AQ_i \leq 2S $, czyli $ S \geq \frac{R}{2} $.

Ponieważ $ \frac{R}{2} < \frac{1}{2} $, więc w każdym przypadku otrzymujemy, że $ S \geq \frac{R}{2} $. Zatem najmniejszą liczbą dodatnią $ r $ o własności podanej w zadaniu jest $ r = \frac{R}{2} = \frac{1}{8} \sqrt{6} $.

Uwaga. Można dowieść, że punkty $ P_A $, $ P_B $, $ P_C $, $ P_D $ są jedynymi punktami takimi, że każdy punkt czworościanu jest odległy od któregoś z nich nie więcej niż o $ \frac{\sqrt{6}}{8} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź