XXI OM - II -Zadanie 1

Udowodnić, że

\[<br />
(1) \qquad |\cos n\beta - \cos n\alpha| \leq n^2 |\cos \beta - \cos\alpha|,<br />
\]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną. Zbadać, dla jakich wartości $ n $, $ \alpha $, $ \beta $ zachodzi równość.

Rozwiązanie

Udowodnimy przez indukcję, że dla każdej liczby naturalnej $ n > 1 $ i liczby $ x \ne k\pi $ ($ k \in \mathbb{C} $) zachodzi nierówność

\[<br />
(2) \qquad  | \sin nx | < n | \sin x |.<br />
\]

Dla $ n = 2 $ mamy $ | \sin 2x | = 2|\sin x| |\cos x| < 2 |\sin x| $, ponieważ $ |\cos x| < 1 $ dla $ x \ne k\pi $.

Załóżmy prawdziwość (2) dla pewnej liczby naturalnej $ n > 1 $; udowodnimy prawdziwość analogicznej nierówności dla liczby $ n + 1 $. Mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
|\sin(n + 1)x| & =<br />
|\sin nx \cos x +<br />
 \cos nx \sin x| \leq<br />
|\sin nx| \cdot |\cos x| +<br />
|\cos nx| \cdot |\sin x| \leq \\<br />
& \leq |\sin nx| + |\sin x| <<br />
n |\sin x| + |\sin x| = (n + 1)|\sin x|.<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem, jeśli $ \alpha + \beta \ne 2k\pi $ i $ \alpha - \beta \ne 2k\pi $ i $ n > 1 $, to korzystając z tożsamości

\[<br />
\cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}<br />
\]

i z nierówności (2) otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
| \cos n \beta - & \cos n \alpha | = 2 \left|\sin n \cdot \frac{\beta + \alpha}{2} \right| \left| \sin n \cdot \frac{\beta - \alpha}{2} \right| \leq \\<br />
& \leq<br />
2n^2 \left| \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \right| \left| \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right| =<br />
n^2 \left| -2 \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right| = \\<br />
& = n^2 |\cos \beta - \cos \alpha|.<br />
\end{split}<br />
\]

Jeśli zaś $ n = 1 $, to oczywiście w (1) zachodzi równość. Podobnie, jeśli $ \alpha + \beta = 2k\pi $ lub $ \alpha - \beta = 2k\pi $, to $ \cos \alpha = \cos \beta $ oraz $ \cos n \alpha = \cos n \beta $ i też w (1) zachodzi równość.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź