XXI OM - II -Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli trójkąt $ T_1 $ zawiera trójkąt $ T_2 $, to obwód trójkąta $ T_1 $ jest nie mniejszy od obwodu trójkąta $ T_2 $.

Rozwiązanie

W wierzchołkach trójkąta $ T_2 $ wystawiamy proste prostopadłe do jego boków (rys. 11). Proste te wyznaczają punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ B_2 $, $ C_2 $, $ C_3 $, $ A_3 $ na brzegu trójkąta $ T_1 $. Ponieważ $ AB \bot AA_1 $ i $ AB \bot BB_1 $ więc długość odcinka $ \overline{AB} $ jest nie większa od długości łamanej $ A_1B_1 $. Analogicznie długości odcinków $ \overline{BC} $ i $ \overline{CA} $ są nie większe od długości łamanych odpowiednio $ B_2C_2 $ i $ C_3A_3 $. Tym bardziej obwód trójkąta $ T_2 $ jest nie większy od obwodu trójkąta $ T_1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź