XXI OM - II -Zadanie 5

Dany jest wielomian $ P(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2 $. Niech $ Q(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k $ będzie wielomianem określonym wzorem

\[<br />
Q(x) = P(x) \cdot P(x^3) \cdot P(x^9) \cdot P(x^{27}) \cdot P(x^{81}).<br />
\]

Obliczyć $ \sum_{k=0}^m |b_k| $.

Rozwiązanie

Wykorzystamy następujące oczywiste fakty:

(1) Iloczyn wielomianów o współczynnikach dodatnich jest wielomianem o współczynnikach dodatnich.

(2) Suma współczynników wielomianu $ f(x) $ równa jest $ f(1) $.

(3) Moduły odpowiednich współczynników wielomianów $ f(x) $ i $ f(-x) $ są równe.

Ponieważ wielomian $ P(-x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{6} x^2 $ ma współczynniki dodatnie, więc na podstawie (1) wielomian $ R(x) = Q(-x) = P(-x) \cdot P(- x^3) \cdot P(- x^9) \cdot P(- x^{27}) \cdot P(- x^{81}) $ ma współczynniki dodatnie.

Na podstawie (2) suma współczynników wielomianu $ R (x) $ równa jest $ R(1) = P(- 1) \cdot P(- 1) \cdot P(- 1) \cdot P(- 1) \cdot P(-1) = 1 $. Zatem na podstawie (3) suma modułów współczynników wielomianu $ Q(x) $ równa jest sumie współczynników wielomianu $ Q(- x) = R(x) $, czyli $ 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź