XXI OM - III -Zadanie 1

Średnica $ \overline{AB} $ dzieli okrąg na dwa półokręgi. Na jednym półokręgu obrano n punktów $ P_1 P_2, \ldots, P_n $ tak, że $ P_1 $ leży między $ A $ i $ P_2 $, $ P_2 $ leży między $ P_1 $ i $ P_3 $, $ \ldots $, $ P_n $ leży między $ P_{n-1} $ i $ B $. Jak należy wybrać punkt $ C $ na drugim półokręgu, aby suma pól trójkątów $ CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n $ była największa?

Rozwiązanie

Zauważmy, że suma pól trójkątów $ CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n $ jest równa sumie pól wielokąta $ P_1P_2 \ldots P_n $ oraz trójkąta $ CP_1P_n $ (rys. 13). Pierwsze pole nie zależy od wyboru punktu $ C $. Drugie pole będzie maksymalne, gdy odległość punktu $ C $ od prostej $ P_1P_n $ będzie możliwie duża. Punkt na okręgu najbardziej oddalony od danej cięciwy leży na symetralnej tej cięciwy. Zatem jako $ C $ należy wziąć punkt przecięcia symetralnej odcinka $ \overline{P_1P_n} $ z drugim półokręgiem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź