XXI OM - III -Zadanie 2

Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:

\[<br />
\begin{split}<br />
a_1, a_2, \ldots, \\<br />
b_1, b_2, \ldots, \\<br />
c_1, c_2, \ldots,<br />
\end{split}<br />
\]

przy czym jeżeli $ i \neq j $, to $ a_i \neq a_j $, $ b_i \neq b_j $, $ c_i \neq c_j $.
Udowodnić, że istnieje para wskaźników $ k, l $ taka, że $ k < l $ i $ a_k < a_l $, $ b_k < b_l $, $ c_k < c_l $.

Rozwiązanie

Ponieważ wyrazy ciągu $ a_1, a_2, \ldots $ są różnymi liczbami naturalnymi, a zbiór liczb naturalnych mniejszych od $ a_1 $ jest skończony, więc wszystkie dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od $ a_1 $, tzn.

\[<br />
(1) \qquad  a_n > a_1 \textrm{ dla }   n > n_1.<br />
\]

Podobnie stwierdzamy, że

\[<br />
(2) \qquad  b_n > b_1 \textrm{ dla } n > n_2 \textrm{ i}<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  c_n > c_1 \textrm{ dla } n > n_3.<br />
\]

Jeśli więc $ n $ jest liczbą naturalną większą od każdej z liczb $ n_1, n_2, n_3 $, to nierówności (1), (2), (3) będą prawdziwe dla tej liczby naturalnej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź