XXI OM - III -Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $ A $ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $ f(x) $ spełniającego warunek

\[<br />
(1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad    0 \leq x \leq 1<br />
\]

zachodzi nierówność $ f'(0) \leq A $.

Rozwiązanie

Niech trójmian kwadratowy $ f(x) = ax^2 + bx + c $ spełnia warunek (1). Wtedy w szczególności $ |f(0)| \leq 1 $, $ | f \left( \frac{1}{2} \right)| \leq 1 $ i $ |f(1)| \leq 1 $.

Ponieważ

\[<br />
f(0) = c,\ f(\frac{1}{2}) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c,\<br />
f(1) = a+b+c<br />
\]

oraz

\[<br />
f'(0) = b = 4 (\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c) - (a+b+c) - 3c,<br />
\]

więc

\[<br />
| f'(0)| \leq  4 + \left( \frac{1}{2} \right)| + |f(1)| + 3|f(0)| \leq<br />
4 + 1 + 3 = 8.<br />
\]

Zatem $ A \leq 8 $.

Z drugiej strony trójmian $ f(x) = -8x^2 + 8x - 1 $ spełnia warunek (1), co łatwo odczytać z jego wykresu (rys. 15). Ponadto $ f'(0) = 8 $. Zatem $ A \geq 8 $.

Poszukiwana liczba $ A $ jest więc równa $ 8 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź