XX OM - I -Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ i $ b_1, b_2, \ldots, b_n $ są dodatnie, to

\[<br />
(1) \; (a_1b_1 + a_2_b2 + \ldots a_nb_n)(\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \ldots + \frac{a_n}{b_n}) \geq<br />
(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2<br />
\]

Rozwiązanie

Lewą stronę $ L $ nierówności (1) przekształcamy jak następuje.

\[<br />
\begin{split}<br />
L & = a_1b_1 \cdot \frac{a_1}{b_1} + a_2b_2 \cdot \frac{a_2}{b_2} + \ldots<br />
a_nb_n \cdot \frac{a_n}{b_n} +<br />
\left( a_1b_1 \cdot \frac{a_2}{b_2} + a_2b_2 \cdot \frac{a_1}{b_1} \right) +\\<br />
& + \left( a_1b_1 \cdot \frac{a_3}{b_3} + a_3b_3 \cdot \frac{a_1}{b_1} \right) +<br />
\ldots +<br />
\left( a_{n-1}b_{n-1} \cdot \frac{a_n}{b_n} + a_nb_n \cdot \frac{a_{n-1}}{b_{n-1}} \right) =\\<br />
& = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2<br />
+ a_1a_2 \left(\frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1} \right)<br />
+ a_1a_3 \left(\frac{b_1}{b_3} + \frac{b_3}{b_1} \right)<br />
+ \ldots +\\<br />
& + a_{n-1}a_n \left(\frac{b_{n-1}}{b_n} + \frac{b_n}{b_{n-1}} \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ dla dowolnych liczb dodatnich $ x $, $ y $ zachodzi nierówność

\[<br />
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2,<br />
\]

więc

\[<br />
L \geq a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3+ \ldots +2a_1a_n,<br />
\]

czyli

\[<br />
L \geq (a_1+a_2+ \ldots +a_n)^2, \textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Uwaga. Powyższe rozwiązanie można przedstawić w następującej postaci. Zarówno lewa strona $ L $, jak prawa strona $ P $ nierówności (1) jest równa wielomianowi jednorodnemu stopnia drugiego zmiennych $ a_1, a_2, \ldots, a_n $, co możemy zapisać

\[<br />
L = \sum_{1 \leq i \leq k \leq n} \alpha_{ik}a_ia_k, \<br />
P = \sum_{1 \leq i \leq k \leq n} \beta_{ik}a_ia_k.<br />
\]

Stwierdzamy, że dla $ i, k = 1, 2, \ldots, n $, $ i < k $

\[<br />
\alpha_{ii} = b_i \cdot \frac{1}{b_i} = 1,\<br />
\beta_{ii} = 1, \textrm{ więc } \alpha_{ii} = \beta_{ii}.<br />
\]
\[<br />
\alpha_{ik} = b_i \cdot \frac{1}{b_k} + b_k \cdot \frac{1}{b_i} \geq 2,\<br />
\beta_{ik} = 2, \textrm{ więc } \alpha_{ik} \geq \beta_{ik}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
L \geq P, \textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź