XX OM - I -Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

\[<br />
(1) \qquad x + y = (x-y)^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $ x $, $ y $ spełniają równanie (1) i niech

\[<br />
(2) \qquad  x- y = r.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika równanie

\[<br />
(3) \qquad  x+y = r^2.<br />
\]

Rozwiązując układ równań (2) i (3) względem $ x $ i $ y $ otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad  x = \frac{r^2 + r}{2}, \ y = \frac{r^2-r}{2}.<br />
\]

Jeśli zatem para liczb całkowitych $ x $, $ y $ jest rozwiązaniem równania (1), to zachodzą równości (4), gdzie $ r $ jest liczbą całkowitą.

Odwrotnie, jeśli $ r $ jest dowolną liczbą całkowitą, to liczby $ x $, $ y $ określone wzorami (4) spełniają równanie (1), gdyż $ \frac{r^2+r}{2} + \frac{r^2-r}{2} =r^2 $, a $ \frac{r^2+r}{2} - \frac{r^2-r}{2} =r $. Liczby te są całkowite, albowiem $ r^2+ r(r+1) $ i $ r^2-r = r(r-1) $, jako iloczyny kolejnych liczb całkowitych, są liczbami parzystymi.

Zatem wszystkie rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych wyrażają się wzorami (4), gdzie $ r $ oznacza dowolną liczbę całkowitą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź