XX OM - I -Zadanie 3

Dowieść, że żadna figura nie może mieć dokładnie dwóch środków symetrii.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkty $ O_1 $ i $ O_2 $ są środkami symetrii figury $ F $ i niech $ O_3 $ będzie punktem symetrycznym do $ O_1 $ względem środka $ O_2 $ (rys. 1).

Udowodnimy, że punkt $ O_3 $ jest również środkiem symetrii figury $ F $.

Niech $ A $ będzie dowolnym punktem figury $ F $, $ B $ - punktem symetrycznym do $ A $ względem środka $ O_2 $, $ C $ - punktem symetrycznym do $ B $ względem środka $ O_1 $, a $ D $ - punktem symetrycznym do $ C $ względem środka $ O_2 $. Według założenia punkty $ B $, $ C $, $ D $ należą do figury $ F $. Zauważmy, że obrazami punktów $ B $, $ O_1 $, $ C $ w symetrii o środku $ O_2 $ są odpowiednio punkty $ A $, $ O_3 $, $ D $. Ponieważ punkt $ O_1 $ jest środkiem odcinka $ BC $, więc punkt $ O_3 $ jest środkiem odcinka $ AD $, zatem punkt $ D $ jest obrazem punktu $ A $ w symetrii względem punktu $ O $.

Stwierdziliśmy, że obraz dowolnego punktu figury $ F $ w symetrii względem środka $ O_3 $ należy też do figury $ F $, zatem $ O_1 $ i $ O_2 $ nie są jedynymi środkami symetrii figury, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź