XX OM - I -Zadanie 4

Dane są punkty $ A, B, C, D $ nie lezące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że płaszczyzna $ \pi $ jest równo oddalona od punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Żaden z danych punktów nie leży na płaszczyźnie $ \pi $, gdyż w przeciwnym razie musiałyby na niej leżeć wszystkie cztery, wbrew założeniu. Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą po jednej stronie płaszczyzny $ \pi $, gdyż musiałyby wówczas należeć do jednej płaszczyzny równoległej do $ \pi $, co znów przeczyłoby założeniu. Wobec tego zachodzi jeden z przypadków:

1. Trzy dane punkty, np. $ A $, $ B $, $ C $ leżą po jednej stronie, a czwarty punkt $ D $ po drugiej stronie płaszczyzny $ \pi $. Płaszczyzna ta musi wtedy przechodzić przez środki $ M $, $ N $, $ P $ krawędzi $ AD $, $ BD $, $ CD $ czworościanu $ ABCD $ (rys. 2). Odwrotnie, płaszczyzna przechodząca przez punkty $ M $, $ N $, $ P $ jest równo oddalona od punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Punkty $ M $, $ N $, $ P $ są niewspółliniowe, więc wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Ponieważ zamiast krawędzi wychodzących z wierzchołka $ D $ można wziąć krawędzie wychodzące z innego wierzchołka czworościanu, więc są cztery płaszczyzny równo oddalone od punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ i spełniające warunek $ 1 $.

2. Dwa dane punkty np. $ A $ i $ B $ leżą po jednej, dwa pozostałe $ C $ i $ D $ po drugiej stronie płaszczyzny $ \pi $. Płaszczyzna ta przechodzi wtedy przez środki $ M $, $ N $, $ B $, $ Q $ krawędzi $ AD $, $ BD $, $ AC $, $ BC $ czworościanu $ ABCD $ (rys. 3). Odwrotnie płaszczyzna przechodząca przez punkty $ M $, $ N $, $ R $, $ Q $ jest równo oddalona od punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Otóż punkty $ M $, $ N $, $ R $, $ Q $ wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę, gdyż są wierzchołkami równoległoboku. Albowiem $ MN \parallel AB $ i $ RQ \parallel AB $, więc $ MN \parallel RQ $ i tak samo $ MR \parallel NQ $.

Ponieważ zbiór punktów $ \{A, B, C, D\} $ można podzielić na dwie pary trzema sposobami, więc są trzy płaszczyzny równo odległe od $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ i spełniające warunek 2.

Zadanie ma zatem 7 rozwiązań.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź