XX OM - I -Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a $ i $ b $ i naturalnego $ n $

\[<br />
\frac{a^n + b^n}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2}\right)^n.<br />
\]

Rozwiązanie

Stosujemy indukcję zupełną

a) Gdy $ n = 1 $, teza twierdzenia przybiera postać $ \frac{a+b}{2} \geq \frac{a+b}{2}  $ jest więc prawdziwa.

b) Jeśli dla pewnego naturalnego $ n $ zachodzi nierówność (1), to

\[<br />
\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} =<br />
\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} \cdot \frac{a^n+b^n}{2} \geq<br />
\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} \cdot \left( \frac{a+b}{2} \right)^n,<br />
\]

więc

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} \geq<br />
\frac{2(a^{n+1}+b^{n+1}}{(a^n+b^n)(a+b)} \cdot<br />
\left( \frac{a+b}{2} \right)^{n+1}.<br />
\]

Otóż

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{split}<br />
\frac{2(a^{n+1}+b^{n+1})}{(a^n+b^n) (a+b)} &=<br />
\frac{(a^n+b^n)(a+b) + (a^n- b^n)(a-b)}{(a^n+b^n) (a+b)} =\\<br />
&=1 + \frac{(a^n - b^n)(a - b)}{(a^n + b^n)(a+b)} \geq 1,<br />
\end{split}<br />
\]

gdyż

\[<br />
(a^n-b^n)(a-b) = (a-b)^2 (a^{n-1}+a^{n-2}b+ \ldots +b^{n-1}) \geq 0.<br />
\]

Z (2) i (3) otrzymujemy

\[<br />
\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2} \right)^{n+1},<br />
\]

tzn. teza twierdzenia jest prawdziwa dla wykładnika $ n+1 $.

Z a) i b) wynika przez indukcję, że teza (1) jest prawdziwa dla każdego naturalnego $ n $.

Uwaga. Krótszy dowód twierdzenia uzyskamy korzystając z rachunku różniczkowego.

Bez szkody dla ogólności rozumowania możemy przyjąć, że $ a \leq b $. Niech $ \frac{a}{b} = c $ i niech $ f $ oznacza funkcję określoną wzorem

\[<br />
f(c) = 2^{n-1} (c^n+1) - (c+1)^n.<br />
\]

Twierdzenie nasze możemy wypowiedzieć w postaci:

Gdy $ 0 < c \leq 1 $, a $ n $ jest liczbą naturalną, to $ f(c) \geq 0 $.

Dowód wystarczy przeprowadzić przy założeniu, że $ n > 1 $ i $ c < 1 $, gdy bowiem $ n = 1 $ lub $ c = 1 $, teza jest oczywista.

Obliczamy pochodną funkcji $ f $:

\[<br />
f'(c) = n \cdot 2^{n-1} c^{n-1} - n (c+1)^{n-1} =n [(2c)^{n-1}-(c+1)^{n-1}].<br />
\]

Gdy $ 0 < c < 1 $, wtedy $ 2c < c+1 $, a dla $ n > 1 $ także $ (2c)^{n-1} < (c+1)^{n-1} $ więc $ f'(c)<0 $.

Stąd wynika, że w przedziale $ (0, 1) $ funkcja $ f $ jest malejąca. Ponieważ zaś $ f(1) = 0 $, więc w tym przedziale $ f(c) > 0 $, c.n.d.

Zauważmy, że w powyższym dowodzie nie korzystaliśmy z założenia, że $ n $ jest liczbą naturalną, a tylko z tego, że $ n \geq 1 $; udowodniliśmy więc twierdzenie mocniejsze.

Komentarze

Błąd

Chyba brakuje wykładnika w treści.

Dodaj nową odpowiedź