XX OM - I -Zadanie 6

Rozwiązać równanie

\[<br />
(1) \qquad \left[ \frac{1}{3}x +  \frac{1}{3}\right] - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}<br />
\]

Uwaga: Symbol $ [a] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ a $.

Rozwiązanie

\spos{1} Dane równanie możemy napisać w postaci

\[<br />
(2) \qquad  \left[ \frac{x+1}{3} \right] = \frac{x-1}{2}.<br />
\]

Przypuśćmy, że liczba $ x $ spełnia równanie (2). W takim razie liczba

\[<br />
y = \frac{x-1}{2}<br />
\]

jest całkowita. Podstawiając $ x = 2y+1 $ do (2) otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad  \left[ \frac{2y+2}{3} \right] = y.<br />
\]

Zachodzi jeden z przypadków:

a) $ y \equiv 0 \pmod 3 $.

Wtedy $ \left[ \frac{2y+2}{3} \right] = \frac{2y}{3} $ i z (3) otrzymujemy $   \frac{2y}{3} = y $, skąd $ y = 0 $, zatem $ x = 1 $;

b) $ y \equiv 1 \pmod 3 $.

Wtedy $ \left[ \frac{2y+2}{3} \right] = \frac{2y+1}{3} $, więc według (3) $ \frac{2y+1}{3} = y $. Stąd $ y = 1 $, a $ x = 3 $;

c) $ y \equiv 2 \pmod 3 $

Wtedy $ \left[ \frac{2y+2}{3} \right] = \frac{2y+2}{3} $, zatem z (3) wynika, że $ \frac{2y+2}{3}= y $. Stąd $ y = 2 $, więc $ x = 5 $.

Stwierdzamy, że liczby $ 1 $, $ 3 $, $ 5 $ spełniają równanie (1). Zadanie zostało rozwiązane.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź