XX OM - I -Zadanie 7

Kwadrat $ ABCD $ obrócono dokoła jego środka $ S $ o kąt ostry $ \alpha $, a następnie kwadrat obrócony przesunięto do położenia $ EFGH $ o wektor długości boku kwadratu prostopadły do płaszczyzny kwadratu. Obliczyć objętość bryły ograniczonej kwadratami $ ABCD $ i $ EFGH $ oraz trójkątami $ ABE $, $ BCF $, $ CDG $, $ DAH $, $ EFB $, $ FGC $, $ GHD $, $ HEA $.

Rozwiązanie

Przyjmiemy, że kwadrat obrócono w kierunku wskazanym przez kolejność $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ jego wierzchołków.

Rozwiązanie ilustruje rysunek 4 przedstawiający rozważaną figurę w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny: poziomą, na której leży kwadrat $ ABCD $ oraz pionową. $ A', B',\ldots,E' $ oznaczają rzuty poziome, a $ A'', B'',\ldots, E' $ - rzuty pionowe punktów $ A, B, \ldots, E, \ldots $.

Wprowadzimy oznaczenia: $ a $ - długość boku danego kwadratu, $ P $ - ośmiokąt $ AE'BF'CG'DG' $, $ \Gamma $ - graniastosłup prosty o podstawie $ P_L $ i wysokości równej $ a $, $ T $ - trójkąt $ AE'B $.

Bryłę, której objętość $ v $ mamy obliczyć, można otrzymać odcinając od graniastosłupa $ \Gamma $ osiem ostrosłupów płaszczyznami $ ABE $, $ BCF $, $ CDG $, $ DAH $, $ EFB $, $ FGC $, $ GHD $, $ HEA $. Ostrosłupy te są przystające, jednym z nich jest ostrosłup $ O $ o podstawie $ T $ i wierzchołku $ E $.

Obliczamy kolejno

\[<br />
SA = \frac{a}{\sqrt{2}},\<br />
AE' = 2 \cdot SA \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = a \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2},\<br />
\measuredangle BAE' = \frac{1}{2} \measuredangle BSE' = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}.<br />
\]

Pole $ T = \frac{1}{2} AB \cdot AE' \cdot \sin BAE' =<br />
\frac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) $.

Pole $ P = a^2+4 (\textrm{pole }T) =<br />
a^2 \cdot \left[ 1 + 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \right. \cdot \left. \sin \left( 45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) \right] $.

Objętość $ \Gamma =a \cdot(\textrm{pole } P) = a^3 \cdot \left[1 + 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) \right] $.

Objętość $ O = \frac{1}{3}a \cdot (\textrm{pole } T) = \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) $.

$ V = \textrm{objętość } \Gamma - 8 \cdot (\textrm{objętość } O) = a^3 \cdot<br />
\left[ 1+ \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \left(45^\circ- \frac{\alpha}{2} \right) \right] $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź