XX OM - I -Zadanie 8

Udowodnić twierdzenie:
Jeżeli

\[<br />
(1) \; \sin x + \sin y + \sin z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos x + \cos y + \cos z = 0, \text{ to}<br />
\]
\[<br />
(2) \; \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos 2x + \cos 2y + \cos 2z = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Mnożymy równości (1) i (2) stronami; stosując znane wzory otrzymujemy:

\[<br />
(5) \qquad  \sin 2x+\sin 2y+\sin 2z+2\sin (x+y) + 2\sin(y+z) + 2\sin (z+x) = 0.<br />
\]

Podnosimy (1) i (2) stronami do kwadratu i odejmujemy:

\[<br />
(6) \qquad  \cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+2\cos (x+y) + 2\cos (y+z) + 2\cos (z+x) = 0.<br />
\]

Mnożymy (1) i (2) odpowiednio przez $ \cos x $ i $ \sin x $ i odejmujemy:

\[<br />
\sin(x-y) - \sin (z- x) = 0;<br />
\]

analogicznie otrzymujemy równości

\[<br />
\sin (y-z)- \sin (x-y) = 0,\ \sin(z-x) - \sin (y-z) = 0.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(7) \qquad  \sin(x-y) = \sin(y-z) = \sin(z-x).<br />
\]

Mnożymy (1) i (2) odpowiednio przez $ \sin x $ i $ \cos x $ i dodajemy:

\[<br />
1 + \cos(x-y) + \cos(z-x) = 0;<br />
\]

analogicznie

\[<br />
1 + \cos(y-z) + \cos(x-y) = 0,\ 1 + \cos(z-x) + \cos(y-z) = 0.<br />
\]

Rozwiązując układ tych trzech równań otrzymujemy

\[<br />
(8) \qquad  \cos (x-y) = \cos (y-z) = \cos (z-x).<br />
\]

Z (7) i (8) wynika, że $ x-y = z-x+2k\pi $, czyli $ 2x = y + z + 2k\pi $, gdzie $ k $ jest liczbą całkowitą.

Zatem

\[<br />
(9) \qquad  \sin(y+z) = \sin 2x,\ \cos(y+z) = \cos 2x,<br />
\]

a analogicznie

\[<br />
(10) \qquad  \sin(z+x) = \sin 2y,\ \cos(z+x) = \cos 2y<br />
\]
\[<br />
(11) \qquad  \sin(x+y) = \sin 2z,\ \cos(x+y) = \sin 2z.<br />
\]

Według (9) -(11) możemy we wzorach (5) i (6) zamiast $ x+y $, $ y+z $, $ z + x $ napisać odpowiednio $ 2z $, $ 2x $, $ 2y $. Uzyskujemy wzory (3) i (4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź