XX OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej i dodatniej $ n $

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}}<br />
\]

Rozwiązanie

Przekształćmy lewą stronę nierówności (1):

\[<br />
(2) \qquad  \frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6}  =<br />
\frac{(n+1)(2n+1)}{6}  = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}<br />
\]

Według znanego wzoru

\[<br />
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 1^2+2^2+ \ldots + n^2.<br />
\]

Z (2) i (3) wynika, że

\[<br />
(4) \qquad  \frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6}  =<br />
\frac{1^2+2^2+ \ldots + n^2}{n}<br />
\]

Wiemy, że średnia arytmetyczna $ n $ liczb dodatnich jest nie mniejsza od średniej geometrycznej tych liczb; zatem

\[<br />
(5) \qquad  \frac{1^2+2^2+ \ldots + n^2}{n} \geq<br />
( 1^2 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot n^2)^{\frac{1}{n}} = (n!)^{\frac{2}{n}}.<br />
\]

Z (4) i (5) otrzymujemy

\[<br />
\frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}}, \textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź