XX OM - I -Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $ a_1, a_2, b_1, b_2 $ są liczbami wymiernymi spełniającymi warunki

\[<br />
(1) a_1 \neq a_2, \; b_1 \neq b_2, \; (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + 4(a_1-a_2)(b_1-b_2) = 0.<br />
\]

to liczby

\[<br />
1-a_1b_1, \quad 1-a_2b_2<br />
\]

są kwadratami liczb wymiernych.

Rozwiązanie

Niech $ a_1-a_2 = k $, $ b_1- b_2 = l $; wtedy

\[<br />
a_1b_2 - a_2b_1 = (a_1-a_2)b_1 - (b_1-b_2)a_1 = kb_1-la_1<br />
\]

i warunki (1) przybierają postać

\[<br />
(2) \qquad  k \ne 0,\ l \ne 0,\ (kb_1-la_1)^2 + 4kl = 0.<br />
\]

Wynika z nich, że liczba wymierna $ \frac{k}{l} $ spełnia równanie kwadratowe

\[<br />
b^2_1 x^2 + 2(2 - a_1b_1)x + a^2_1 = 0,<br />
\]

więc wyróżnik tego równania, czyli

\[<br />
4(2-a_1b_1)^2 - 4a^2_1 b^2_1 = 16(1-a_1b_1)<br />
\]

jest kwadratem liczby wymiernej, zatem również liczba $ 1-a_1b_1 $ jest kwadratem liczby wymiernej.

Ponieważ warunki zadania nie ulegają zmianie, gdy $ a_1 $, $ b_1 $, $ a_2 $, $ b_2 $ zamienimy odpowiednio na $ a_2 $, $ b_2 $, $ a_1 $, $ b_1 $, więc liczba $ 1- a_2b_2 $ jest także kwadratem liczby wymiernej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź