XX OM - I -Zadanie 11

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ suma odległości każdego wierzchołka od prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ jest taka sama. Dowieść, że czworokąt ten jest równoległobokiem.

Rozwiązanie

Oznaczmy miary kątów czworokąta literami $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, a długości boków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ odpowiednio literami $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ (rys. 6).

Suma odległości wierzchołka $ A $ od prostych zawierających boki czworokąta wynosi wówczas $ a \sin B + d \sin D $. Oznaczając wartości tej sumy literą $ s $ mamy

\[<br />
a \sin B + d \sin D = s<br />
\]

i analogicznie

\[ b \sin C + a \sin A = s \]
\[ c \sin D + b \sin B = s \]
\[ d \sin A + c \sin C = s.\]

Obliczając z powyższego układu równań sinusy kątów czworokąta otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad  \sin A = \frac{s(c-b)}{ac-bd},<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  \sin B = \frac{s(c-d)}{ac-bd},<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  \sin C = \frac{s(a-d)}{ac-bd},<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  \sin D = \frac{s(a-b)}{ac-bd}.<br />
\]

Z równości (1)--(4) wynika równość

\[<br />
\sin A + \sin C = \sin B + \sin D,<br />
\]

którą możemy napisać w postaci

\[<br />
(5) \qquad  2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}=<br />
2 \sin \frac{B+D}{2} \cos \frac{B-D}{2}.<br />
\]

Ponieważ $ A+B+C+D = 2\pi $, więc $ \frac{B+D}{2}= \pi - \frac{A+C}{2} $, zatem
$ \sin \frac{A+C}{2} = \sin \frac{B+D}{2} $ i z równości (5) otrzymujemy

\[<br />
\cos \frac{A-C}{2} = \cos \frac{B-D}{2}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(6) \qquad  \frac{A-C}{2} = 2k \pi \pm \frac{B-D}{2} ( \textrm{$k$ -liczba całkowita}).<br />
\]

Ponieważ $ \left| \frac{A-C}{2} \right| < \pi $, $ \left| \frac{B-D}{2} \right| < \pi $, więc w równości (6) $ k = 0 $ zachodzi któryś z przypadków

a) $ \frac{A-C}{2} = \frac{B-D}{2} $; wtedy $ A+D = B+C $, zatem $ A+D = \pi $,

skąd wynika, że boki $ AB $ i $ DC $ są równoległe i że $ \sin D = \sin A $, wobec czego z równości (1) i (4) otrzymujemy $ a = c $.

b) $ \frac{A-C}{2} = - \frac{B-D}{2} $; wtedy $ A + B = C+D $, czyli $ A + B = \pi $, skąd wnioskujemy, że proste $ AD $ i $ BC $ są równoległe i że $ \sin A = \sin B $, więc z uwagi na (1) i (2) zachodzi równość $ b = d $.

Udowodniliśmy, że w danym czworokącie dwa boki przeciwległe są równoległe i równe, czworokąt ten jest więc równoległobokiem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź