XX OM - I -Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli figura ma w przestrzeni $ n $ osi symetrii, to liczba $ n $ jest nieparzysta.

Rozwiązanie

Dowód twierdzenia oprzemy na dwóch lematach.

a) Jeżeli osie $ OX $ i $ OY $ prostokątnego układu współrzędnych są osiami symetrii figury $ F $, to oś $ OZ $ jest także osią symetrii tej figury (rys. 7).

Niech $ A = (x, y, z) $ będzie punktem figury $ F $. Współrzędne punktu $ B $ symetrycznego do $ A $ względem osi $ OX $ otrzymamy biorąc tę samą pierwszą współrzędną, a pozostałe współrzędne zmieniając na liczby przeciwne, tzn. $ B = (x, -y, -z) $. Analogicznie $ C = (-x, -y, z) $ jest punktem symetrycznym do $ B $ względem osi $ OY $. Według założenia punkt $ B $ oraz punkt $ C $ należą do figury $ F $. Lecz punkt $ C $ jest także symetryczny do $ A $ względem osi $ OZ $. Zatem oś $ OZ $ jest osią symetrii figury $ F $.

b) Jeżeli proste $ s $ i $ t $ są osiami symetrii figury $ F $, to prosta $ u $ symetryczna do $ t $ względem $ s $ jest także osią symetrii figury $ F $.

Niech $ A_1 $ oznacza dowolnie obrany punkt figury $ F $, $ A_2 $ - punkt symetryczny do $ A_1 $ względem prostej $ s $, $ A_3 $ - punkt symetryczny do $ A_2 $ względem prostej $ t $ oraz $ A_4 $ - punkt symetryczny do $ A_3 $ względem prostej $ s $. Z założenia wynika, że punkt $ A_2 $, więc też $ A_3 $, zatem również $ A_4 $ należą do figury $ F $. Punkty $ A_1 $, $ A_4 $ oraz prosta $ u $ są odpowiednio obrazami punktów $ A_2 $, $ A_3 $ oraz prostej $ t $ w symetrii względem prostej $ s $. Ponieważ $ A_2 $ i $ A_3 $ leżą symetrycznie względem prostej $ t $, więc ich obrazy $ A_1 $ i $ A_4 $ leżą symetrycznie względem obrazu prostej $ t $, tj. względem prostej $ u $. Prosta $ u $ jest więc osią symetrii figury $ F $.

Ilustruje to rysunek 8 dla przypadku, gdy proste $ s $ i $ t $ przecinają się.

Powołując się na lematy a) i b) rozumujemy jak następuje.

Niech osiami symetrii figury $ F $ będą proste $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ parami różne. Mamy dowieść, że $ n $ jest liczbą nieparzystą, wobec czego możemy założyć, że $ n > 1 $. Każdej osi $ s_i $ ($ i \geq 2 $) przyporządkujemy oś $ s_j $ ($ j \geq 2,\ j \ne i $) w następujący sposób. Jeżeli oś $ s_i $ jest prostopadła do $ s_1 $ i przecina $ s_1 $ w punkcie $ O $, to przyporządkowujemy jej tę oś symetrii $ s_j $ figury, która jest prostopadła do $ s_1 $ i do $ s_i $ w punkcie $ O $; wiemy, że oś, taka istnieje (lemat a)). Jeżeli zaś oś $ s_i $ nie jest prostopadła do osi $ s_1 $ lub jej nie przecina, to przyporządkowujemy jej tę oś symetrii $ s_j $ figury, która jest prostą symetryczną do $ s_i $ względem $ s_1 $; według lematu b) oś taka istnieje. W obu przypadkach prosta $ s_j $ jest różna od $ s_1 $ i od $ s_i $ a prostą przyporządkowaną osi $ s_j $ jest $ s_i $. Zbiór $ n-1 $ prostych $ s_2, s_3, \ldots, s_n $ podzielony został w ten sposób na rozłączne pary. Liczba $ n $ jest zatem nieparzysta.

Uwaga. Opierając się na lemacie 2 udowodnimy twierdzenie:

Jeżeli zbiór osi symetrii figury $ F $ jest skończony (ale nie pusty), to wszystkie te osie mają punkt wspólny.

Dowód. Jeżeli jakaś figura ma osie symetrii $ s_1 $ i $ s_2 $, to według lematu 2 osiami symetrii tej figury są również proste $ s_3, s_4, \ldots $, gdzie $ s_i $ ($ i = 3, 4, \ldots $) oznacza prostą symetryczną do prostej $ s_{i-1} $ względem prostej $ s_{i-2} $.

Gdy proste $ s_1 $ i $ s_2 $ są skośne lub równoległe (ale różne), to wszystkie proste $ s_i $ są różne, gdyż odległość prostej $ s_i $ od prostej $ s_{i-1} $ rośnie wtedy wraz z $ i $, figura ma zatem nieskończenie wiele osi symetrii. Jeśli więc zbiór osi symetrii figury $ F $ jest skończony, to każde dwie osie symetrii tej figury przecinają się.

Stąd wynika, że jeżeli nie wszystkie osie symetrii figury $ F $ leżą w jednej płaszczyźnie, to wszystkie te osie mają punkt wspólny. Jeśli bowiem osie symetrii $ s_1 $ i $ s_2 $ figury $ F $ przecinają się w punkcie $ M $ i zawierają się w płaszczyźnie $ \alpha $, to każda oś nie leżąca w płaszczyźnie $ \alpha $, np. $ s_3 $ przechodzi przez punkt $ M $ (gdyż przecina $ s_1 $ i $ s_2 $), wobec czego każda oś symetrii figury leżąca w $ \alpha $ też przechodzi przez $ M $ (gdyż przecina $ s_3 $. Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy wszystkie osie symetrii $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ ($ n > 2 $) figury $ F $ leżą w jednej płaszczyźnie. Przypuśćmy, że proste $ s_i $ ($ i = 1 ,2\ldots, n $) nie przechodzą przez jeden punkt. Każda z prostych $ s_i $ przecina każdą inną, więc zbiór $ Z $ punktów przecięcia tych prostych jest wtedy skończonym zbiorem punktów płaszczyzny nie zawierającym się w jednej prostej (gdyż w zbiorze $ Z $ są wierzchołki trójkąta). Każda z prostych $ s_i $ jest na mocy lematu 2 osią symetrii figury $ s_1 \cup s_2 \cup \ldots s_n $, więc jest także osią symetrii zbioru $ Z $. W takim razie każda z prostych $ s_i $ jest osią symetrii opony $ W $ zbioru $ Z $, albowiem w symetrii obrazem opony zbioru jest opona obrazu tego zbioru. Przez każdy wierzchołek wielokąta $ W $ przechodziłyby wtedy co najmniej dwie osie symetrii tego wielokąta, czyli dwa kolejne boki wielokąta leżałyby symetrycznie względem dwóch różnych prostych, co jest niemożliwe.

Dowód został przeprowadzony.

Uwzględniając powyższe twierdzenie można w rozwiązaniu poprzedniego zadania wprowadzić przy końcu małą poprawkę. Mianowicie w trzecim zdaniu od końca opuścić słowa: ,,lub jej nie przecina'', gdyż taki przypadek nie może zachodzić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź