XX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c, d $ spełniają równania

\[<br />
(1) \; a^2 + b^2 = 1,\quad (2) \; c^2 + d^2 = 1, \quad (3) \; ac + bd = -\frac{1}{2},<br />
\]

to

\[<br />
(4) \qquad a^2 + ac + c^2 = b^2 + bd + d^2.<br />
\]

Rozwiązanie

\spos{1} Jeżeli z danych równań wyrugujemy $ b $ i $ d $, otrzymamy równanie postaci $ f(a, c) = 0 $. W takim razie również $ f(b, d) = 0 $, gdyż równania (1) --(3) nie ulegają zmianie, gdy zamiast $ a, b, c, d $ napiszemy w nich $ b,a,d, c $. Wobec tego liczby $ a, b, c, d $ spełniają równanie $ f(a, c) = f(b, d) $. Dojdziemy w ten sposób do równania (4).

Rachunek przebiega, jak następuje.

Z (1), (2) i (3) obliczamy

\[ b^2 = 1-a^2 \]
\[ d^2 = 1-c^2 \]
\[ (bd)^2 = \left( - \frac{1}{2} -ac \right)^2 = \frac{1}{4} + ac + a^2c^2 \]

Stąd

\[<br />
(1-a^2) (1-c^2) = \frac{1}{4} + ac + a^2c^2,<br />
\]

a po uproszczeniu

\[<br />
(5) \qquad  a^2 + ac + c^2 - \frac{3}{4}= 0.<br />
\]

Zatem również

\[<br />
(6) \qquad  b^2 + bd + d^2 - \frac{3}{4} = 0.<br />
\]

Z (5) i (6) otrzymujemy związek (4).

Zauważmy, że równości (5) i (6) stanowią wynik mocniejszy od żądanej równości (4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź