XX OM - II - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe, w których cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek, a cyfra dziesiątek - cyfrze jedności i które są kwadratami liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczba $ x $ spełnia warunki zadania i oznaczmy jej kolejne cyfry literami $ a, a, b, b $. Wtedy

\[<br />
x = 1000a + 100a + 10b + b = 11 (100a+b).<br />
\]

Liczba $ x $ jest podzielna przez $ 11 $, zatem jako kwadrat liczby całkowitej jest podzielna przez $ 11^2 $, tzn. $ x = 11^2 \cdot k^2 $ ($ k $ - liczba całkowita), wobec czego

\[<br />
100 a + b = 11k^2.<br />
\]

Stąd

\[<br />
a+b = 11(k^2-9a).<br />
\]

Liczba $ a+b $ jest więc podzielna przez $ 11 $. Ponieważ $ 0 < a \leq 9 $, $ 0 \leq b \leq 9 $, więc $ 0 < a+b \leq 18 $, wobec czego

\[<br />
a+b = 11.<br />
\]

Stąd wnioskujemy, że $ b \ne 0 $, $ b \ne 1 $; ponieważ zaś $ b $ jest końcową cyfrą kwadratu liczby całkowitej, więc nie jest żadną z cyfr $ 2, 3, 7, 8 $. Zatem $ b $ jest jedną z cyfr $ 4, 5, 6, 9 $. Odpowiednimi wartościami $ a $$ 7, 6, 5, 2 $, więc wartościami $ x $ mogą być jedynie liczby $ 7744 $, $ 6655 $, $ 5566 $, $ 2299 $. Tylko pierwsza z nich jest kwadratem liczby całkowitej.

Zadanie ma jedno rozwiązanie, jest nim liczba $ 7744 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź