XX OM - II - Zadanie 3

Dany jest czworokąt $ ABCD $ wpisany w koło. Obrazami punktów $ A $ i $ C $ w symetrii względem prostej $ BD $ są odpowiednio punkty $ A' $ i $ C' $, a obrazami punktów $ B $ i $ D $ w symetrii względem prostej $ AC $ są odpowiednio punkty $ B' $ i $ D' $. Dowieść, że punkty $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ leżą na okręgu.

Rozwiązanie

Prosta $ A'C' $ jest symetryczna do prostej $ AC $ względem prostej $ BD $, więc przechodzi przez punkt przecięcia $ S $ prostej $ AC $ z osią symetrii $ BD $. Tak samo prosta $ B'D' $ przecina prostą $ BD $ w punkcie osi symetrii $ AC $, tzn. przechodzi również przez punkt $ S $. Zachodzi równość odcinków symetrycznych

\[<br />
SA' = SA,\ SB' = SB,\ SC' = SC,\ SD' = SD.<br />
\]

Ponieważ $ SA \cdot SC = SB \cdot SD $ (twierdzenie o przecinających się cięciwach okręgu), więc

\[<br />
SA' \cdot SC' = SB' \cdot SD'.<br />
\]

Stąd wynika na podstawie twierdzenia odwrotnego do wymienionego poprzednio, że punkty $ A', B', C', D' $ leżą na okręgu.

Uwaga. W powyższym dowodzie powołaliśmy się na twierdzenie, że jeżeli odcinki $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ S $ i zachodzi równość $ SA \cdot SC = SB \cdot SD $, to punkty $ A, B, C, D $ leżą na okręgu. Można je udowodnić korzystając z twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg.

Niech $ C_1 $ i $ D_1 $ będą punktami symetrycznymi względem dwusiecznej kąta $ ASD $ odpowiednio do punktów $ C $ i $ D $. Wtedy $ SA \cdot SC_1 = SB \cdot SD_1 $, czyli $ \frac{SA}{SD_1} = \frac{SB}{SC_1} $, więc $ D_1 $ i $ C_1 $ są obrazami punktów $ A $ i $ B $ w jednokładności o środku $ S' $. Stąd wynika równość kątów $ ABS $ i $ D_1C_1S $. A ponieważ wobec symetrii $ \measuredangle<br />
D_1C_1S = \measuredangle DCS $, więc $ \measuredangle ABS = \measuredangle DCS $. Zatem punkty $ B $ i $ C $, z których odcinek $ AD $ widać pod tym samym kątem i które leżą po tej samej stronie prostej $ AD $ znajdują się na okręgu przechodzącym przez punkty $ A $ i $ D $ (rys. 10).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź