XX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych min zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad 1^m + 2^m + \ldots + n^m \geq n\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^m<br />
\]

Rozwiązanie

Wiemy (patrz zadanie 5), że dla dowolnych liczb dodatnich $ a $ i $ b $ i dowolnego naturalnego $ m $ zachodzi nierówność

\[<br />
a^m + b^m \geq 2 \left( \frac{a+b}{2}\right)^m.<br />
\]

Zastosujemy tę nierówność do sumy występującej po lewej stronie nierówności (1). Łączymy wyrazy tej sumy po dwa: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd.

Gdy liczba $ n $ jest parzysta, np. $ n = 2k $, wtedy

\[<br />
\begin{split}<br />
 1^m + 2^m + \ldots + n^m &= (1^m + n^m) + (2^m + (n-1)^m) + \ldots + (k^m +<br />
 (k + 1)^m) \geq \\<br />
& \geq \underbrace{2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 + \ldots + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^2}_{k \textrm{ wyrazów}} =\\<br />
&=2k \left( \frac{n+1}{2} \right)^m = n \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right)^m<br />
\end{split}<br />
\]

Gdy zaś $ n $ jest nieparzyste, np. $ n = 2k+1 $, wtedy

\[<br />
\begin{split}<br />
 1^m + 2^m + \ldots + n^m = (1^m + n^m) + (2^m + (n-1)^m) + \ldots + (k^m +<br />
 (k + 2)^m) + (k+1)^m \geq \\<br />
\begin{split}<br />
& \geq \underbrace{2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m + \ldots + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m}_{k \textrm{ wyrazów}} + \left( \frac{n+1}{2} \right)^m=\\<br />
&=<br />
(2k+1) \left( \frac{n+1}{2} \right)^m = n \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right)^m<br />
\end{split}<br />
\end{split}<br />
\]

Wzór (1) jest prawdziwy w obu przypadkach.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź