XX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli przy rzutowaniu równoległym jednej płaszczyzny na drugą płaszczyznę obrazem pewnego kwadratu jest kwadrat, to obrazem każdej figury jest figura do niej przystająca.

Rozwiązanie

Niech rzutem równoległym kwadratu $ MNPQ $ leżącego na płaszczyźnie $ \alpha $ będzie kwadrat $ M'N'P'Q' $ płaszczyzny $ \beta $.

Wtedy rzutem płaszczyzny $ \alpha $ jest cała płaszczyzna $ \beta $ i rzutowanie jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem jednej płaszczyzny na drugą. Wiadomo, że przy takim rzutowaniu rzuty odcinków równoległych są odcinkami równoległymi, a stosunek długości odcinków równoległych jest równy stosunkowi długości ich rzutów.

Oznaczmy literą $ k $ stosunek $ MN \colon M'N' $ długości boków danych kwadratów. Tej samej liczbie $ k $ równa się stosunek długości dowolnego odcinka równoległego którejś z prostych $ MN $ i $ NP $ do długości jego rzutu.

Niech $ AB $ (rys. 11) będzie dowolnym odcinkiem płaszczyzny $ \alpha $ nierównoległym do $ MN $, ani do $ NP $. Zbudujmy trójkąt prostokątny $ ABC $, w którym $ AC \parallel MN $, $ BC \parallel NP $; rzutem tego trójkąta jest trójkąt prostokątny $ A'B'C' $, w którym $ A'C' \parallel M'N' $ a $ B'C' \parallel N'P' $.

Ponieważ $ AC \colon A'C' = k $, $ BC \colon B'C' = k $, więc trójkąty $ ABC $ i $ A'B'C' $ są podobne i $ AB \colon A'B' = k $.

Rozważane odwzorowanie płaszczyzny $ \alpha $ na płaszczyznę $ \beta $ zmienia zatem odległości wszystkich odcinków w tym samym stosunku $ k $, czyli jest podobieństwem. Zauważmy teraz, że pewne odcinki płaszczyzny $ \alpha $ mają takie same długości, jak ich rzuty na płaszczyznę $ \beta $. Własność tę ma na przykład każdy odcinek płaszczyzny $ \alpha $ równoległy do rzutni $ \beta $. Stąd wynika, że $ k = 1 $, tzn. że rozważane podobieństwo jest przystawaniem (izometrią), c.n.d.

Uwaga. Założenie twierdzenia można osłabić: wystarczy przyjąć, że rzut pewnego trójkąta $ ABC $ płaszczyzny $ \alpha $ na płaszczyznę $ \beta $ jest trójkątem podobnym do trójkąta $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź