XX OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że każdy wielościan ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie boków.

Rozwiązanie

Niech $ s $ oznacza liczbę ścian wielościanu $ W $, a $ P $ taką jego ścianę, która ma największą liczbę boków; liczbę tę oznaczymy literą $ n $. Do wielokąta $ P $ przylega wzdłuż jego boków $ n $ innych (parami różnych) ścian wielościanu, zatem $ s \geq n+1 $. Z drugiej strony, liczba boków każdej ściany wielościanu $ W $ jest jedną z liczb $ 3, 4, \ldots, n $; liczb tych jest $ n-2 $. Gdyby więc każda ściana wielościanu miała inną liczbę boków, to zachodziłaby nierówność $ s \leq n-2 $ sprzeczna z poprzednią. Zatem wielościan taki nie istnieje.

Uwaga. Rozumowanie powyższe wykazuje, że zachodzi twierdzenie mocniejsze: W każdym wielościanie są co najmniej trzy takie ściany, że każda z nich ma tyle samo boków, co któraś różna od niej ściana wielościanu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź