XX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $, spełniają warunek

\[<br />
(1) \qquad \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0,<br />
\]

gdzie $ m $ oznacza liczbę dodatnią, to równanie

\[<br />
(2) ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

ma pierwiastek zawarty między 0 i 1.

Rozwiązanie

Wystarczy przeprowadzić dowód, gdy $ a \geq 0 $. Przypadek ujemnego $ a $ sprowadza się bowiem do przypadku $ a > 0 $ przez zmianę znaków w równościach (1) i (2) na przeciwne.

I. Gdy $ a = 0 $, dowód jest krótki:

Jeśli $ b \ne 0 $, to równanie (2) ma pierwiastek

\[<br />
x_0 = - \frac{c}{b},<br />
\]

a ponieważ z warunku (1) wynika, że gdy $ a = 0 $, wtedy $ \frac{c}{b} = -\frac{m}{m+1} $, więc $ x_0 = \frac{m}{m+1} $, zatem $ 0 < x_0 < 1 $.

Jeśli zaś $ b = 0 $, to na mocy (1) również $ c = 0 $, więc równanie (2) jest spełnione dla dowolnego $ x $.

II. $ a > 0 $

Niech $ f(x) $ oznacza wartość lewej strony równania (2). Udowodnimy najpierw, że z założenia (1) wynika nierówność

\[<br />
f \left( \frac{m}{m+1} \right) < 0.<br />
\]

Istotnie

\[<br />
f \left( \frac{m}{m+1} \right) =<br />
m \left( \frac{m}{m+1} \right)^2 +<br />
b \left( \frac{m}{m+1} \right) + c=<br />
m \left[ \frac{am}{(m+1)^2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} \right].<br />
\]

Stąd i z założenia (1)

\[<br />
\begin{split}<br />
f \left( \frac{m}{m+1} \right) = &<br />
m \left[ \frac{am}{(m+1)^2} - \frac{a}{m+2} \right] =<br />
am \frac{m(m+2)-(m+1)^2}{(m+1)^2(m+2)} = \\<br />
& = \frac{-am}{(m+1)^2(m+2)} \leq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Rozróżnimy obecnie dwa przypadki

a) Jeśli $ c > 0 $, to

\[<br />
(4) \qquad  f(0) = c > 0.<br />
\]

Z (3) i (4) wynika, że równanie $ f(x) = 0 $ ma w tym przypadku pierwiastek w przedziale $ \left(0, \frac{m}{m+1} \right) $, zawartym w przedziale $ (0,1) $.

b) Jeśli $ c \leq 0 $, to

\[<br />
f(1) = a+b+c = (m+1) \left( \frac{a}{m+1} + \frac{b}{m+1} +\frac{c}{m+1} \right).<br />
\]

Stosując (1) otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
f(1) &=  (m+1) \left[ \left( \frac{a}{m+1} + \frac{b}{m+1} +\frac{c}{m+1} \right) - \left( \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} +\frac{c}{m} \right) \right]=\\<br />
& = (m+1) \left( \frac{a}{m+1} - \frac{a}{m+2} + \frac{c}{m+1} -\frac{c}{m} \right) = \\<br />
& = (m+1) \left[ \frac{a}{(m+1)(m+2)} - \frac{c}{m(m+1)} \right].<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem

\[<br />
(5) \qquad  f(1) > 0.<br />
\]

Z (3) i (5) wynika, że równanie $ f(x) = 0 $ ma w tym przypadku pierwiastek w przedziale $ \left( \frac{m}{m+1}, 1 \right) $ zawartym w przedziale $ (0, 1) $.

Uwaga. W powyższym rozumowaniu oparliśmy się na twierdzeniu, że jeżeli funkcja kwadratowa $ f $ przybiera dla dwóch wartości $ x_1 $ i $ x_2 $ argumentu $ x $ wartości $ f(x_1) $ i $ f(x_2) $ o różnych znakach, to funkcja ta ma pierwiastek w przedziale $ x_1 < x < x_2 $. Własność taką ma każda funkcja ciągła w przedziale $ x_1 \leq x \leq x_2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź