XX OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_n $, z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

\[<br />
(1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n|<br />
\]

Rozwiązanie

Możemy przyjąć, że dane liczby są ustawione w ciąg rosnący, tj. że

\[<br />
a_1 < a_2 < \ldots < a_n.<br />
\]

\spos{1} Zauważmy, że według definicji bezwzględnej wartości liczby

\[<br />
| x-c | =<br />
\left\{<br />
\begin{array}{cc}<br />
c - x, & \textrm{gdy } x \leq c, \\<br />
x - c, & \textrm{gdy } x \geq c.<br />
\end{array}\right.<br />
\]

funkcja $ y = |x-c| $ jest funkcją określoną i ciągłą dla każdego $ x $ w przedziale $ - \infty < x \leq c $ jest ona funkcją liniową malejącą, a w przedziale $ c \leq x < \infty $ - funkcją liniową rosnącą. Wykres jej przedstawia rysunek 12.

Stąd wynika, że dana funkcja (1) jest także funkcją określoną i ciągłą dla wszystkich wartości $ x $. W każdym z przedziałów $ -\infty < x < a_1,\ a_1 \leq x \leq a_2,\ \ldots,\ a_{k-1} \leq x \leq a_k,\ a_k \leq x < \infty $ jest ona funkcją liniową, gdyż jest sumą $ n $ funkcji liniowych. Zbadajmy, w których przedziałach funkcja jest rosnąca, a w których malejąca.

1) Gdy $ - \infty < x \leq a_1 $, wtedy

\[<br />
y = \sum_{i=1}^n |x - a_i| = -nx + \sum_{i=1}^n a_i,<br />
\]

funkcja jest malejąca.

2) Gdy $ a_n \leq x < \infty $, wtedy

\[<br />
\sum_{i=1}^n |x - a_i| = nx - \sum_{i=1}^n a_i,<br />
\]

funkcja jest rosnąca.

3) Gdy $ a_k \leq x \leq a_{k+1} $, wtedy

\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{i=1}^n  |x - a_i| &= \sum_{i=1}^k |x - a_i| + \sum_{i=k+1}^n |x - a_i|=\\<br />
&= kx - \sum_{i=1}^k a_i + \sum_{i=k+1}^n a_i - (n-k)n =\\<br />
&= (2k-n) x - \sum_{i=1}^k a_i + \sum_{i=k+1}^n a_i.<br />
\end{split}<br />
\]

Dana funkcja (1) jest w przedziale $ \langle a_k, a_{k+1} \rangle $ rosnąca, gdy $ 2k > n $, malejąca, gdy $ 2k < n $.

Rozróżnimy dwa przypadki

a) $ n = 2m $ jest liczbą parzystą.

W tym przypadku w przedziale $ \langle a_k, a_{k+1} \rangle $ funkcja (1) jest:

  • malejąca, gdy $ k = 1, 2, \ldots, (m-1) $
  • rosnąca, gdy $ k = m+1, m+2, \ldots, n- 1 $
  • stała, gdy $ k = m $.

Zatem funkcja (1) osiąga swą najmniejszą wartość w każdym z punktów przedziału $ a_m \leq x \leq a_{m+1} $.

Wartością tą jest według 3) liczba

\[<br />
-a_1-a_2- \ldots -a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+ \ldots +a_n.<br />
\]

b) $ n = 2m+1 $ jest liczbą nieparzystą.

W tym przypadku w przedziale $ \langle a_k, a_{k+1} \rangle $ funkcja (1) jest

  • malejąca, gdy $ k = 1, 2, \ldots, m $,
  • rosnąca, gdy $ k = m+1, m+2, \ldots, 2m $.

Wartość najmniejszą osiąga funkcja w punkcie $ x = a_{m+1} $; jest nią według 3) liczba

\[<br />
a_{m+1}- \sum_{i=1}^{m+1} a_i + \sum_{i=m+2}^{n} a_i =<br />
-a_1 - a_2 - \ldots - a_m + a_{m+2} + a_{m+3} + \ldots + a_n.<br />
\]

Rysunek 13 przedstawia wykres funkcji $ y = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4| $, a rysunek 14 - wykres funkcji $ y = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4| + |x-5| $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź