XX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

Rozwiązanie

Według znanego twierdzenia suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wynosi $ 360 $. Wobec tego w ośmiokącie $ A_1A_2 \ldots A_8 $ o równych kątach każdy kąt zewnętrzny równa się $ 45^\circ $.

Weźmy pod uwagę trzy kolejne boki ośmiokąta, np. $ A_1A_2 $, $ A_2A_3 $ i $ A_3A_4 $. Przedłużenia boków $ A_1A_2 $ i $ A_4A_3 $ tworzą odpowiednio z półprostymi $ A_2A_3 $ i $ A_3A_2 $ kąty równe $ 45^\circ $, więc przecinają się w pewnym punkcie $ N $ pod kątem prostym (rys. 15).

To samo zachodzi dla innych trójek kolejnych boków ośmiokąta. Boki przeciwległe $ A_1A_2 $ i $ A_5A_6 $ ośmiokąta leżą zatem na przeciwległych bokach $ MN $ i $ PQ $ prostokąta $ MNPQ $, gdzie $ M $, $ P $, $ Q $ oznaczają odpowiednio punkty przecięcia prostych $ A_1A_2 $ i $ A_7A_8 $, $ A_3A_4 $ i $ A_5A_6 $ oraz $ A_5A_6 $ i $ A_7A_8 $.

Zakładając, że długości boków ośmiokąta są wymierne, wywnioskujemy stąd, że $ A_1A_2 = A_5A_6 $.

Dla krótkości wprowadzimy oznaczenia

\[<br />
A_iA_{i+1} = a_i\ (i=1,2, \ldots, 7),\ A_8A_1 = a_8.<br />
\]

Obliczamy

\[<br />
MN = MA_1 + A_1A_2 + A_2N = a_8 \cos 45^\circ + a_1 + a_2 \cos 45^\circ<br />
\]
\[<br />
PQ = PA_5 + A_5A_6 + A_6Q = a_4 \cos 45^\circ + a_5 + a_6 \cos 45^\circ.<br />
\]

Ponieważ $ MN = PQ $, więc na mocy powyższych równości

\[<br />
a_8 \cos 45^\circ + a_1 + a_2 \cos 45^\circ = a_4 \cos 45^\circ + a_5 + a_6 \cos 45^\circ,<br />
\]

a stąd

\[<br />
a_1-a_5 = (a_4+a_6 - a_2-a_8) \cos 45^\circ.<br />
\]

Ponieważ liczby $ a_1-a_5 $ i $ a_4 + a_6 -a_2-a_8 $ są wymierne, a liczba $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ jest niewymierna, więc powyższa równość może zachodzić tylko wtedy, gdy obie jej strony są równe zeru. Zatem $ a_1 = a_5 $, tj.

\[<br />
A_1A_2 = A_5A_6.<br />
\]

Czworokąt $ A_1A_2A_5A_6 $ ma dwa boki równe i równoległe jest więc równoległobokiem. Jego przekątne $ A_1A_5 $ i $ A_2A_6 $ mają wspólny środek $ S $.

Tak samo stwierdzamy, że czworokąty $ A_2A_3A_6A_7 $ i $ A_3A_4A_7A_8 $ są równoległobokami, wobec czego środek $ S $ przekątnej $ A_2A_6 $ jest także środkiem przekątnej $ A_3A_7 $ i środkiem przekątnej $ A_4A_8 $.

Dany ośmiokąt ma więc środek symetrii $ S $, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź