XX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, p, q, r, s $, spełniają warunki

\[<br />
(1) \; qr-ps = 1,\quad  (2) \;  \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s}<br />
\]

to

\[<br />
b \geq q+s.<br />
\]

Rozwiązanie

Według (2)

\[<br />
\frac{a}{b} - \frac{p}{q} = \frac{aq-bp}{bq} > 0,<br />
\]
\[<br />
\frac{r}{s} - \frac{a}{b} = \frac{br-as}{bs} > 0.<br />
\]

Zatem $ aq-bp > 0 $, $ br-as > 0 $, a ponieważ lewe strony tych nierówności są liczbami całkowitymi, więc

\[<br />
aq-bp \geq 1, \   br-as \geq 1.<br />
\]

Mnożymy obie strony pierwszej nierówności przez $ s $, a drugiej przez $ q $ i dodajemy je stronami:

\[<br />
b (rq-ps) \geq q+s.<br />
\]

Stąd po uwzględnieniu warunku (1) otrzymujemy

\[<br />
b \geq q+s.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź