XX OM - III - Zadanie 5

Dla jakich wartości $ n $ istnieje wielościan mający $ n $ krawędzi?

Rozwiązanie

Wielościan mający $ n $ krawędzi istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $ n \geq 6 $ i $ n \ne 7 $.

Dowód. a) Przykładem wielościanu mającego $ n = 2m $ ($ m \geq 3 $) krawędzi jest ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt o $ m $ bokach.

b) Przykład wielościanu mającego $ n = 2m+1 $ ($ m \geq 4 $) krawędzi można otrzymać przy użyciu ostrosłupa o $ 2(m-1) $ krawędziach. W tym celu prowadzimy płaszczyznę przez środki $ M $, $ N $, $ P $ takich trzech krawędzi ostrosłupa, które wychodzą z jednego wierzchołka $ S $ podstawy ostrosłupa. Bryła, która powstanie po odrzuceniu od ostrosłupa czworościanu $ SMNP $ jest wielościanem, który ma o $ 3 $ krawędzie więcej niż ostrosłup, tj. ma $ 2m-2+3 = 2m+1 $ krawędzi. W tej konstrukcji $ m $ może być dowolną liczbą spełniającą warunek $ m-1 \geq 3 $, tj. warunek $ m \geq 4 $.

c) Nie istnieje wielościan mający $ 7 $ krawędzi. Można to udowodnić jak następuje. Jeżeli któraś ściana wielościanu nie jest trójkątem, a więc ma $ 4 $ lub więcej boków, to wielościan ma co najmniej $ 8 $ krawędzi, albowiem z każdego wierzchołka tej ściany wychodzi, oprócz dwóch jej boków, jeszcze co najmniej jedna krawędź, a wszystkie te krawędzie są różne.

Jeśli zaś wszystkie ściany wielościanu są trójkątami, a liczba ścian
wynosi $ s $, to liczba krawędzi $ k = \frac{3s}{2} $, więc liczba $ k $ jest podzielna przez $ 3 $, wobec czego $ k \ne 7 $.

d) Nie istnieje wielościan mający mniej niż $ 6 $ krawędzi, albowiem każdy wielościan ma co najmniej $ 4 $ wierzchołki, a z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej $ 3 $ krawędzie, więc liczba krawędzi jest większa lub równa $ \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź