XX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $ n $ punktów płaszczyzny nie zawierający się w jednej prostej. Dowieść, że istnieje okrąg przechodzący przez co najmniej trzy z tych punktów, wewnątrz którego nie ma żadnego z pozostałych punktów zbioru.

Rozwiązanie

\spos{1} Wybierzmy z danego zbioru punktów $ Z = \{A_1, A_2, \ldots, A_n \} $ takie dwa punkty, których odległość jest najmniejsza; przypuśćmy, że są to punkty $ A_1 $ i $ A_2 $. W kole $ K $ o średnicy $ A_1A_2 $ nie ma wtedy żadnego punktu zbioru $ Z $ różnego od $ A_1 $ i $ A_2 $.

Weźmy pod uwagę zbiór $ \Omega $ wszystkich okręgów, z których każdy przechodzi przez punkty $ A_1 $ i $ A_2 $ i jeszcze przez jakiś inny punkt zbioru $ Z $. Ponieważ punkty zbioru $ Z $ nie leżą na jednej prostej, więc zbiór $ \Omega $ nie jest pusty. Jest on zbiorem skończonym, zatem istnieje w nim okrąg $ O_S $ o środku $ S $, którego promień ma najmniejszą długość (rys. 16).

Wewnątrz okręgu $ O_S $ nie ma żadnego punktu zbioru $ Z $. Istotnie, jeśli punkt $ A_k $ zbioru $ Z $ nie leży na okręgu $ O_S $ ani na prostej $ A_1A_2 $ na zewnątrz $ O_S $, to znajduje się na pewnym okręgu $ O_T \in \Omega $ o środku $ T $ różnym od $ S $, którego promień jest nie mniejszy od promienia okręgu $ O_S $. Okrąg $ O_S $ rozcina okrąg $ O_T $ na dwa łuki o końcach $ A_1 $, $ A_2 $, z których większy $ L_1 $ leży (z wyjątkiem końców) na zewnątrz okręgu $ O_S $, mniejszy $ L_2 $ - wewnątrz $ O_S $. Łuk $ L_2 $ jest mniejszy od półokręgu, wobec czego znajduje się w kole $ K $. Zatem punkt $ A_k $ należy do łuku $ L_1 $.

Okrąg $ O_S $ jest więc takim okręgiem, jakiego istnienie należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź