XIX OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
|x + y| &= 1 \\<br />
|x| + |y| &= 1.<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Układ równań (1) jest równoważny układowi

\[<br />
(2) \qquad    |x + y| = 1,\   |x + y|= |x| + |y|.<br />
\]

Drugie równanie układu (2) jest spełnione wtedy i tylko, wtedy, gdy liczby $ x $ i $ y $ są tego samego znaku, lub gdy któraś z nich jest zerem, tzn. gdy $ xy \geq 0 $. Układ (2) jest więc równoważny układowi

\[<br />
(3) \qquad  |x + y| = 1,\ xy \geq 0.<br />
\]

Układ (3) jest równoważny alternatywie

\[<br />
(4) \qquad  x+y=1, \     xy \geq 0<br />
\]

lub

\[<br />
(5) \qquad  x + y = - 1,\ xy \geq 0.<br />
\]

Układy (4) i (5) są odpowiednio równoważne układom

\[<br />
(6) \qquad  y = 1 - x, \     x(1 - x) \geq 0,<br />
\]
\[<br />
(7) \qquad  y = - 1-x,\ x (- 1 - x) \geq 0.<br />
\]

Ponieważ $ x(1 - x) \geq 0 \Longleftrightarrow 0 \leq x \leq 1 $, a $ x(- 1 - x) \geq 0  \Longleftrightarrow - 1 \leq x \leq 0 $, więc układy (6) i (7) są odpowiednio równoważne układom

\[<br />
(8) \qquad  0 \leq x \leq 1,\ y=1-x,<br />
\]
\[<br />
(9) \qquad  - 1 \leq x \leq 0,\ y= -1 - x.<br />
\]

Okazało się, że para liczb $ (x, y) $ jest rozwiązaniem układu (1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia układ warunków (8) lub układ warunków (9). A zatem:

Rozwiązaniami układu równań (1) są te i tylko te pary liczb $ (x,y) $, w których $ x $ jest dowolną liczbą przedziału $ -1 \leq x \leq 1 $, a $ y = 1 - x $, gdy $ x \geq 0 $ oraz $ y = - 1 - x $, gdy $ x \leq 0 $.

Wynik ten możemy również uzyskać przez rozważenie wykresów równań (1). Wykresem pierwszego równania są dwie proste równoległe $ y = 1 - x $ i $ y = - 1 - x $, a wykresem drugiego równania jest obwód kwadratu o wierzchołkach $ (1,0) $, $ (0,1) $, $ (-1,0) $, $ (0,-1) $. Rozwiązania układu (1) przedstawiają punkty dwóch odcinków wspólnych obu wykresom (rys. 1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź