XIX OM - I - Zadanie 3

Na dwóch prostych skośnych leżą odcinki $ AB $ i $ CD $, których środkami są odpowiednio punkty $ M $ i $ N $. Dowieść, że

\[<br />
MN < \frac{1}{2}(AD + BC).<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ P $ będzie środkiem odcinka $ AC $ (rys. 2). Punkt $ P $ nie może leżeć na prostej $ MN $, gdyż wówczas proste $ AB $ i $ CD $ leżałyby w płaszczyźnie wyznaczonej przez proste $ AC $ i $ MN $, więc nie byłyby skośne. W takim razie

\[<br />
(1) \qquad  MN < MP + PN.<br />
\]

W trójkącie $ ABC $ odcinek $ MP $ łączący środki boków $ AB $ i $ AC $ jest równy połowie boku $ BC $:

\[<br />
(2) \qquad  MP = \frac{1}{2} BC.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
(3) \qquad  PN = \frac{1}{2} AD.<br />
\]

Ze związków (1), (2), (3) wynika, że

\[<br />
MN < \frac{1}{2}(AD + BC).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź