XIX OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dane są proste równoległe $ a $ i $ b $ oraz punkt $ M $ leżący na zewnątrz pasa ograniczonego tymi prostymi. Wyznaczyć na prostych $ a $ i $ b $ odpowiednio punkty $ A $ i $ B $ w taki sposób, żeby odcinek $ AB $ był prostopadły do $ a $ i $ b $, a przy tym kąt $ AMB $ był największy.

Rozwiązanie

Niech $ AB $ będzie odcinkiem o końcach $ A \in a $ i $ B \in b $, prostopadłym do prostych $ a $ i $ b $, a $ N $ - punktem symetrycznym do punktu $ M $ względem prostej równoległej do prostych $ a $ i $ b $ i od nich równoodległej (rys. 4).

Okrąg o średnicy $ AB $ leży w pasie ograniczonym prostymi $ a $ i $ b $, więc punkt $ M $ leży na zewnątrz tego okręgu, wobec czego $ \measuredangle AMB = \alpha $ jest mniejszy od $ 90^\circ $. W takim razie maksimum kąta $ \alpha $ zachodzi równocześnie z maksimum $ \sin \alpha $, gdyż dla kątów od $ 0^\circ $ do $ 90^\circ $ sinus kąta rośnie wraz z kątem.

Gdy odcinek $ AB $ leży na prostej $ MN $, wówczas $ \sin \alpha = 0 $.

Gdy punkty $ A $, $ B $, $ M $ są wierzchołkami trójkąta, a $ r $ oznacza promień okręgu opisanego na tym trójkącie, to $ \sin \alpha = \frac{AB}{2r} $. Odcinek $ MN $ jest cięciwą tego okręgu, więc $ MN \leq 2r $, zatem

\[<br />
\sin \alpha \leq \frac{AB}{MN}.<br />
\]

Stąd wynika, że maksimum $ \sin \alpha $, więc też maksimum $ \alpha $ zachodzi wtedy, gdy $ \sin \alpha = \frac{AB}{MN} $ tj. gdy

\[<br />
2r = MN,<br />
\]

co oznacza, że punkty $ A $ i $ B $ leżą na okręgu o średnicy $ MN $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź