XIX OM - I - Zadanie 7

Punkty $ D, E, F $ są środkami boków trójkąta $ ABC $. Dowieść, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach $ ABC $ i $ DEF $ są styczne, to punkt styczności jest jednym z punktów $ A $, $ B $, $ C $ i trójkąt $ ABC $ jest prostokątny.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że okrąg $ c $ opisany na trójkącie $ ABC $ i okrąg $ k $ opisany na trójkącie $ DEF $ są styczne w punkcie $ T $ (rys. 5).

Trójkąt $ DEF $ leży wewnątrz okręgu $ c $, więc styczność okręgów $ c $ i $ k $ jest wewnętrzna i środek $ S $ okręgu $ k $ leży na półprostej $ TO $. Trójkąt $ DEF $ jest podobny do trójkąta $ ABC $ w stosunku $ 1 \colon 2 $, więc promień $ TS $ okręgu $ k $ jest dwa razy mniejszy od promienia $ TO $ okręgu $ c $; zatem punkt $ S $ jest środkiem odcinka $ TO $, z $ TO $ - średnicą okręgu $ k $.

Punkty $ D $, $ E $, $ F $ okręgu $ k $ są różne, więc co najwyżej jeden z nich może się pokrywać z punktem $ O $. Przypuśćmy, że np. punkty $ D $ i $ E $ są różne od punktu $ O $.

Cięciwa $ BC $ okręgu $ c $, której środkiem jest punkt $ D $, jest prostopadła do prostej $ OD $, więc jeden z kątów $ ODB $ i $ ODC $ jest wpisany w okrąg $ k $, wobec czego punkt $ B $ albo punkt $ C $ znajduje się w końcu $ T $ średnicy $ OT $ okręgu $ k $. Tak samo jeden z końców cięciwy $ AC $ leży w punkcie $ T $. Zatem w punkcie $ T $ znajduje się wierzchołek $ C $ trójkąta $ ABC $. W takim razie środek $ F $ boku $ AB $ leży w punkcie $ O $. Gdyby bowiem punkt $ F $ był różny od punktu $ O $, wówczas cięciwa $ AB $ okręgu $ c $ byłaby prostopadła do prostej $ OF $, więc jeden z kątów prostych $ OFA $ i $ OFB $ byłby wpisany w okrąg $ k $, wobec czego punkt $ A $ lub punkt $ B $ znajdowałby się w punkcie $ T $, tzn. pokrywałby się z punktem $ C $, co jest niemożliwe.

Kąt $ C $ trójkąta $ ABC $ jest kątem wpisanym w okrąg $ c $, którego ramiona przechodzą przez końce średnicy $ AB $ tego okręgu, czyli jest kątem prostym.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź