XIX OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworościan $ ABCD $, w którym $ AB = BC = CD = DA = 1 $. Dowieść, że objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ spełnia nierówność

\[<br />
V\leq \frac{2}{27} \sqrt{3}.<br />
\]

Rozwiązanie

Z równości boków czworokąta $ ABCD $ wynika, że płaszczyzna przechodząca przez prostą $ BD $ i przez środek $ M $ odcinka $ AC $ jest płaszczyzną symetrii czworościanu $ ABCD $. Istotnie, środkowa $ DM $ trójkąta równoramiennego $ ADC $ jest prostopadła do jego podstawy $ AC $, tak samo $ BM $ jest prostopadłe do $ AC $; zatem prosta $ AC $ prostopadła do dwóch różnych prostych $ BM $ i $ DM $ płaszczyzny $ BMD $ jest prostopadła do tej płaszczyzny. Ponieważ zaś $ AM = MC $, więc punkty $ A $ i $ C $ są symetryczne względem płaszczyzny $ BMD $. Stąd wynika, że czworościany $ ABMD $ i $ CBMD $, na które płaszczyzna $ BMD $ rozcina czworościan $ ABCD $ są symetryczne względem tej płaszczyzny (rys. 6).

Objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ jest zatem równa podwojonej objętości czworościanu $ ABMD $ o podstawie $ BMD $ i wysokości $ AM $:

\[<br />
(1) \qquad  V = 2 \cdot \frac{1}{3} (\textrm{pole } BMD) AM.<br />
\]

Niech $ AM = x $, wtedy $ BM = MD = \sqrt{AB^2 -AM^2} = \sqrt{ 1 - x^2} $, $ \textrm{pole } BMD = \frac{1}{2} BM \cdot MD \cdot \sin \measuredangle BMD \leq \frac{1}{2} BM \cdot MD = \frac{1}{2} (1 - x^2) $, więc według (1)

\[<br />
(2) \qquad  V \leq \frac{1}{3} (1 - x^2) x,\ \textrm{gdzie } 0 < x < 1.<br />
\]

Znajdziemy maksimum funkcji $ y =(1 - x^2)x $ w przedziale $ (0,1) $. Zadanie to można sprowadzić do wyznaczenia maksimum iloczynu trzech czynników, których suma jest stała. W tym celu zauważmy, że iloczyn $ (1 - x^2) x = (1 + x)(1 - x) x $ osiąga maksimum dla tych samych wartości $ x $, co proporcjonalny doń iloczyn $ (m + mx) (n - nx) x $, gdzie $ m $ i $ n $ oznaczają dowolne liczby dodatnie.

Suma czynników tego drugiego iloczynu równa się $ m + n + (m - n + 1) x $. Gdy $ m $ i $ n $ spełniają równanie

\[<br />
(3) \qquad  m - n + 1 = 0,<br />
\]

suma ta wynosi $ m + n $, więc jest niezależna od $ x $. Wiemy zaś, że maksimum iloczynu $ (m + mx) (n - nx) x $ o stałej sumie czynników zachodzi wówczas, gdy czynniki te są równe, tj. gdy

\[<br />
(4) \qquad  m + mx = n - nx = x.<br />
\]

Liczby $ x $, $ m $, $ n $ spełniają prócz tego nierówności

\[<br />
(5) \qquad  x >0,\ m >0,\ n > 0.<br />
\]

Stwierdzamy za pomocą łatwego rachunku, że układ warunków (3), (4), (5) ma dokładnie jedno rozwiązanie

\[<br />
x = \frac{\sqrt{3}}{3},\ m = \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ x = \frac{\sqrt{3}+1}{2}.<br />
\]

Na mocy przytoczonego wyżej twierdzenia o maksimum iloczynu wartość iloczynu $ (1 - x^2)x $ jest największa, gdy $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $, tzn.

\[<br />
(6) \qquad  (1-x^2)x \leq (1 -\frac{1}{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{9}<br />
\]

dla każdego $ x $ z przedziału $ (0,1) $.

Z (6) i (2) wynika, że

\[<br />
V \leq \frac{2\sqrt{3}}{27}, \textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Uwaga 1. Maksimum funkcji $ y = (1 - x^2)x $ w przedziale $ 0 < x < 1 $ znajdziemy znacznie prościej za pomocą rachunku różniczkowego. Pochodna $ y' = 1 - 3x^2 $ przybiera w tym przedziale wartość $ 0 $ tylko dla $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Ponieważ druga pochodna $ y'' = - 6x $ jest dla $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ ujemna, więc funkcja osiąga w tym punkcie maksimum lokalne, które jest zarazem największą wartością funkcji w całym przedziale $ (0,1) $.

Uwaga 2. Powyższe rozwiązanie zadania można zmodyfikować jak następuje.

Skorzystamy ze wzoru

\[<br />
(*) \qquad V = \frac{1}{3} (\textrm{pole } ABC)h,<br />
\]

gdzie $ h $ jest wysokością czworościanu $ ABCD $ z wierzchołka $ D $.

Otóż

\[<br />
\textrm{pole } ABC = AM \cdot BM = x \sqrt{1 - x^2}.<br />
\]

Wysokość $ h $ czworościanu jest zarazem wysokością trójkąta $ BMD $ z wierzchołka $ D $, więc możemy ją wyrazić w zależności od boków $ BM = DM = \sqrt{1 -x^2} $ i $ BD $.

Oznaczając $ BD = 2y $ otrzymujemy

\[<br />
h = \frac{2y \sqrt{1-x^2-u^2}}{\sqrt{1-x^2}}.<br />
\]

Podstawiając powyższe wartości pola $ ABC $ i $ h $ do wzoru (*) znajdujemy

\[<br />
V = \frac{2}{3} xy \sqrt{1 - x^2-y^2},<br />
\]

zatem

\[<br />
V^2 = \frac{4}{9} x^2y^2 (1-x^2-y^2).<br />
\]

Ponieważ suma czynników $ x^2 $, $ y^2 $, $ 1 - x^2 - y^2 $ iloczynu $ x^2y^2(1 - x^2 - y^2) $ jest stała, a mianowicie jest równa $ 1 $, więc ten iloczyn jest największy wtedy, gdy te czynniki są równe, tj. gdy $ x^2 = y^2 = 1 - x^2 - y^2= \frac{1}{3} $. Zatem

\[<br />
V^2 \leq \frac{4}{9} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3.<br />
\]

Stąd

\[<br />
V \leq \frac{2\sqrt{3}}{27}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź