XIX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ oznaczają liczby $ 1, 2, \ldots, n $ ustawione w dowolnym porządku, a $ n $ jest liczbą nieparzystą, to liczba $ N = (a_1 - 1)(a_2 - 2) \ldots (a_n - n) $ jest parzysta.

Rozwiązanie

Gdyby iloczyn $ N $ był liczbą nieparzystą, to każdy z jego $ n $ czynników $ a_1 - 1, a_2 - 2, \ldots, a_n - n $ byłby też liczbą nieparzystą. Przy nieparzystym $ n $ suma tych czynników byłaby liczbą nieparzystą, co nie jest prawdą, gdyż

\[<br />
(a_1 - 1) + (a_2 - 2) + \ldots + (a_n - n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) -(1 +2 + \ldots + n) = 0.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź