XIX OM - I - Zadanie 11

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt, którego wszystkie kąty są równe. Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego w wielokącie od prostych zawierających boki wielokąta jest stała.

Rozwiązanie

Dla wielokąta foremnego teza twierdzenia jest prawdziwa. Istotnie, odległość $ x_i $ punktu $ P $ wielokąta $ A_1A_2\ldots A_n $ od prostej $ A_iA_{i+1} $ (rys.7) jest równa ilorazowi podwojonego pola $ S_i $ trójkąta $ A_iP A_{i+1} $ *) przez długość boku $ A_iA_{i+1} $ wielokąta. Gdy wszystkie boki mają tę samą długość a, to

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n \frac{2S_i}{a} = \frac{2}{a} \sum_{i=1}^n S_i =  \frac{2}{a} \cdot S,<br />
\]

gdzie $ S $ oznacza pole wielokąta.

Niech $ W $ będzie dowolnym wielokątem o równych kątach, a punkty $ A_1, A_2, \ldots,A_n $ - jego wierzchołkami. Wielokąt $ W $ jest wypukły, gdyż w wielokącie niewypukłym kąty wklęsłe są większe od wypukłych. Można wyznaczyć taki wielokąt foremny $ W_1 $ o wierzchołkach $ B_1, B_2,\ldots, B_n $ zawierający w swym wnętrzu wielokąt $ W $, że dla każdego $ i $ bok $ B_iB_{i+1} $ wielokąta $ W_1 $ jest równoległy do boku $ A_iA_{i+1} $ wielokąta $ W $ i leży po przeciwnej stronie prostej $ A_iA_{i+1} $ niż wielokąt $ W $. Aby taki wielokąt skonstruować, wystarczy wykreślić dowolny okrąg zawierający wielokąt $ W $ i opisać na nim wielokąt foremny $ W_1 $ o $ n $ bokach obierając jego pierwszy bok $ B_1B_2 $ na tej stycznej do okręgu równoległej do prostej $ A_1A_2 $, która leży po przeciwnej stronie prostej $ A_1A_2 $ niż wielokąt $ W $ (rys. 8).

Z założenia równości kątów wielokąta $ W $ wynika, że jego kąty są równe kątom wielokąta $ W_1 $, np. $ \measuredangle B_1B_2B_3 = \measuredangle A_1A_2A_3 $, wobec czego bok $ B_2B_3 $ jest równoległy do prostej $ A_2A_3 $ i leży na zewnątrz kąta wypukłego $ A_1A_2A_3 $, a więc po przeciwnej stronie prostej $ A_2A_3 $ niż wielokąt $ W $. W ten sam sposób stwierdzamy kolejno, że każdy z pozostałych boków wielokąta $ W_1 $; a tym samym cały wielokąt $ W_1 $ spełnia postawiony mu warunek.

Niech $ x_i $ oznacza odległość punktu $ P $ wielokąta $ W $ od prostej $ A_iA_{i+1} $, $ y_i $ - odległość punktu $ P $ od prostej $ B_iB_{i+1} $, a $ d_1 $ - odległość prostych $ A_iA_{i+1} $ i $ B_iB_{i+1} $, gdzie $ i= 1,2\ldots,n $, przy czym $ A_{n+1} = A_1 B_{n+1} = B_1 $. Wówczas $ x_i = y_i - d_i $, zatem

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i - \sum_{i=1}^n d_i.<br />
\]

Ponieważ $ \sum_{i=1}^n y_i $ i tak samo $ \sum_{i=1}^n d_i $ ma dla każdego punktu $ P $ wielokąta $ W $ tę samą wartość, więc to samo dotyczy sumy $ \sum_{i=1}^n x_i $, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź