XIX OM - II - Zadanie 2

Dany jest okrąg $ k $ i wewnątrz niego punkt $ H $. Wpisać w okrąg taki trójkąt, żeby punkt $ H $ był punktem przecięcia wysokości trójkąta.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że poszukiwanym trójkątem jest trójkąt $ ABC $ (rys. 11).

Ponieważ według założenia punkt $ H $ znajduje się wewnątrz okręgu $ k $, więc trójkąt $ ABC $ jest ostrokątny i punkt $ H $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $. Nazwijmy $ H' $ drugi punkt przecięcia prostej $ AH $ z okręgiem $ k $; leży on po przeciwnej stronie prostej $ BC $ niż punkty $ A $ i $ H $. Zauważmy, że punkty $ H $ i $ H' $ są symetryczne względem prostej $ BC $. Istotnie, proste $ HH' $ i $ BC $ są prostopadłe, a $ \measuredangle    HCB = \measuredangle   H'CB $, gdyż $ \measuredangle H'CB = \measuredangle H'AB $, bo są to kąty wpisane w ten sam łuk $ H'CAB $ okręgu $ k $, a $ \measuredangle H'AB = 90^\circ  - \measuredangle ABC = \measuredangle HCB $.

Stąd wysnuwamy następującą konstrukcję trójkąta $ ABC $ (rys. 12).

Obieramy na okręgu $ k $ dowolny punkt $ A $, wyznaczamy drugi punkt przecięcia $ H' $ prostej $ AH $ z okręgiem $ k $. Prowadzimy symetralną odcinka $ HH' $, która przecina okrąg w punktach $ B $ i $ C $. Trójkąt $ ABC $ spełnia warunek zadania, tzn. punktem przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $ jest punkt $ H $.

W rzeczy samej, oznaczając literami $ K $ i $ M $ odpowiednio punkty przecięcia prostych $ AH $ i $ CH $ z prostymi $ BC $ i $ AB $ stwierdzamy, że

$ \measuredangle H'CB = \measuredangle H'AB $ (kąty wpisane w łuk $ H'CAB $ okręgu $ k $),

$ \measuredangle H'CB = \measuredangle MCB $ (kąty symetryczne względem prostej $ BC $),

zatem

\[<br />
\measuredangle MCB = \measuredangle H'AB,<br />
\]

stąd zaś wynika, że trójkąty $ MCB $ i $ KAB $ o wspólnym kącie przy wierzchołku $ B $ są podobne, więc $ \measuredangle CMB = \measuredangle AKB = 90^\circ  $, tzn. $ CM $ jest wysokością trójkąta $ ABC $, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź