XIX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a, b, c $, są długościami boków trójkąta, a suma liczb $ x, y, z $ jest równa zeru, to

\[<br />
(1) \qquad a^2yz + b^2zx + c^2xy \leq 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ U $ oznacza lewą stronę nierówności (1). Ponieważ $ x + y + z = 0 $, więc $ z = - (x + y) $, zatem

\[<br />
U = -a^2y (x + y) - b^2x (x + y) + c^2xy,<br />
\]

czyli

\[<br />
(2) \qquad  U = (c^2 - a^2 - b^2) xy - a^2b^2 - b^2x^2.<br />
\]

Liczby $ a $, $ b $, $ c $, spełniają nierówność

\[<br />
|a - b| < c < a + b.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(a- b)^2 < c^2 < (a+b)^2,<br />
\]

więc

\[<br />
(3) \qquad  - 2ab < c^2 -a^2-b^2 < 2ab.<br />
\]

Jeżeli $ xy > 0 $, to z (3) wynika, że

\[<br />
(c^2 - a^2 - b^2)xy < 2abxy,<br />
\]

wobec czego z (2) otrzymujemy

\[<br />
U < 2abxy - a^2y^2 - b^2x^2 = - (ay - bx)^2 \leq 0.<br />
\]

Jeżeli $ xy < 0 $, to na mocy (3)

\[<br />
- 2abxy > (c^2 - a^2 - b^2)xy.<br />
\]

Zatem z (2) wynika, że

\[<br />
U < -2abxy - a^2y^2 - b^2x^2 = - (ay + bx)^2 \leq 0.<br />
\]

Jeżeli wreszcie $ xy = 0 $, to z (2) otrzymujemy

\[<br />
U = - a^2y^2 - b^2x^2 \leq 0.<br />
\]

We wszystkich przypadkach $ U \leq 0 $, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź