XIX OM - II - Zadanie 5

Czworościany $ ABCD $ i $ A_1B_1C_1D_1 $ są tak położone, że środki odcinków $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $, $ DD_1 $ są odpowiednio środkami ciężkości trójkątów $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $ i $ ABC $. W jakim stosunku są objętości tych czworościanów?

Rozwiązanie

Niech $ M $ oznacza środek ciężkości trójkąta $ BCD $, a $ S $ - środek ciężkości czworościanu $ ABCD $. Punkt $ S $ leży na odcinku $ AM $ i $ SA = 3 SM $. Punkt $ A_1 $ leży na przedłużeniu odcinka $ AM $ i $ AM = MA_1 $ (rys. 14). Zatem punkt $ S $ leży na odcinku $ AA_1 $ i dzieli go w stosunku

\[<br />
\frac{SA_1}{SA} = \frac{SM + MA_1}{SA} = \frac{SM + AM}{SA} = \frac{SM + 4SM}{3SM} = \frac{5}{3}.<br />
\]

Tak samo stwierdzamy, że punkt $ S $ dzieli każdy z odcinków $ BB_1 $, $ CC_1 $, $ DD_1 $ w stosunku $ \frac{5}{3} $. Czworościany $ A_1B_1C_1D_1 $ i $ ABCD $ są zatem jednokładne w stosunku $ \frac{5}{3} $ względem środka $ S $, wobec czego objętości tych czworościanów są w stosunku $ \left( \frac{5}{3} \right)^2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź