XIX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
(1) \quad  \frac{1}{3} + \frac{2}{3\cdot 5} + \frac{3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \ldost + \frac{n}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n+1)} < \frac{1}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie

\[<br />
a_k = \frac{k}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2k + 1)}.<br />
\]

Zauważmy, że

\[<br />
\frac{1}{2} - a_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3},\<br />
\frac{1}{2} (a_1+a_2) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5}.<br />
\]

Nasuwa się przypuszczenie, że dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
(2) \qquad  \frac{1}{2} - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) =<br />
\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}.<br />
\]

Równość (2) łatwo udowodnić metodą indukcji. Z założenia, że równość (2) zachodzi, gdy $ n $ równa się pewnej liczbie naturalnej $ k $ wynika, że

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{2} - (a_1 + a_2 &+ \ldots + a_k + a_{k+1}) =\\<br />
&= \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1)}-<br />
\frac{k+1}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2k+3)} =\\<br />
&=\frac{2k + 3 - 2(k+1)}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+3)}=<br />
\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+3)},<br />
\end{split}<br />
\]

tzn., że równość (2) zachodzi także, gdy $ n = k + 1 $. Stąd oraz z tego, że równość (2) jest prawdziwa, gdy $ n = 1 $, wnioskujemy, że jest ona prawdziwa dla każdego naturalnego $ n $.

Z (2) wynika, że

\[<br />
a_1 + a_2+ \ldots +a_n < \frac{1}{2}<br />
\]

dla każdego naturalnego $ n $, c.n.d.

Uwaga. Dowód nierówności (1) można również oprzeć na tym, że

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot  (2k-1)} -<br />
\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5  \cdot \ldots \cdot (2k+1)} =\\<br />
=\frac{2k}{1 \cdot 3 \cdot 5  \cdot \ldots \cdot (2k+1)} = 2 a_k.<br />
\end{split}<br />
\]

Dodając stronami równości (3) dla wartości $ k $ od $ 1 $ do $ n $ otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad  2 \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5  \cdot \ldots \cdot (2k-1)} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5  \cdot \ldots \cdot (2k+1)} .<br />
\]

Zauważmy, że po prawej stronie równości (4) kolejne wyrazy pierwszej sumy począwszy od drugiego aż do $ n $-go są odpowiednio równe kolejnym wyrazom drugiej sumy od pierwszego do $ (n - 1) $-go; po redukcji równość (4) otrzymuje postać

\[<br />
2 \sum_{k=1}^n a_k = 1 -<br />
 \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5  \cdot \ldots \cdot (2k+1)} ,<br />
\]

skąd

\[<br />
(5) \qquad  \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{2} -<br />
 \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5  \cdot \ldots \cdot (2k+1)}.<br />
\]

Z (5) wynika, że

\[<br />
\sum_{k=1}^n a_k < \frac{1}{2},<br />
\]

czego należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź