XIX OM - III - Zadanie 3

W czworościanie $ ABCD $ krawędzie $ AD $, $ BD $, $ CD $ są równe. Na płaszczyźnie $ ABC $ obrano punkty niewspółliniowe $ A_1, B_1, C_1 $ Proste $ DA_1, DB_1, DC_1 $ przecinają powierzchnię kuli opisanej na czworościanie odpowiednio w punktach $ A_2, B_2, C_2 $, różnych od punktu $ D $. Udowodnić, że punkty $ A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2 $ leżą na powierzchni pewnej kuli.

Rozwiązanie

Sfera (tj. powierzchnia kuli) $ S $ opisana na czworościanie $ ABCD $ przecina płaszczyznę $ ABC $ wzdłuż okręgu $ k $ opisanego na trójkącie $ ABC $. Z równości $ DA = DB = DC $ wynika, że sfera $ t $ o środku $ D $ i promieniu $ r = DA $ przechodzi przez punkty $ B $ i $ C $, więc przecina sferę $ s $ i płaszczyznę $ ABC $ wzdłuż tego samego okręgu $ k $. Wobec tego rzut prostokątny $ H $ punktu $ D $ na płaszczyznę $ ABC $ jest środkiem okręgu $ k $. Płaszczyzna $ A_1HD $ zawiera zatem pewną średnicę $ MN $ okręgu $ k $ i przecina sferę $ s $ wzdłuż okręgu $ l $ przechodzącego przez punkty $ M $, $ N $ i $ D $ (rys. 16).

Według twierdzenia o potędze punktu względem okręgu

\[<br />
A_1 A_2 \cdot A_1D = A_1M \cdot A_1N.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(A_1 D - A_2D) \cdot A_1D = (A_1H- MH) (A_1H + MH) = A_1G^2 - MH^2,<br />
\]

więc

\[<br />
A_1D \cdot A_2D = A_1D^2 - A_1H^2 + MH^2 = HD^2 + MH^2 = MD^2.<br />
\]

Równość tę można zapisać w postaci

\[<br />
(1) \qquad  DA_1 \cdot DA_2 = r^2.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
(2) \qquad  DB_1 \cdot  DB_2 = r^2.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika

\[<br />
(3) \qquad  DA_1 \cdot  DA_2 = DB_1 \cdot  DB_2.<br />
\]

Z równości (3) oraz z tego, że pary punktów $ A_1 $, $ A_2 $, i $ B_1 $, $ B_2 $ leżą na dwóch różnych półprostych o początku $ D $ nie tworzących jednej prostej, łatwo wywnioskować, że punkty $ A_1 $, $ A_2 $, $ B_1 $, $ B_2 $, leżą na okręgu.

Istotnie, niech $ m $ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty niewspółliniowe $ A_1 $, $ A_2 $, $ B_1 $ (rys. 17).

Punkt $ D $ leży na zewnątrz okręgu $ m $, zatem

\[<br />
(4) \qquad  DA_1 \cdot DA_2 = DB_1 \cdot DX,<br />
\]

gdzie $ X $ jest punktem wspólnym okręgu $ m $ z półprostą $ DB_1 $.

Z (3) i (4) otrzymujemy

\[<br />
DX = DB_2,<br />
\]

a ponieważ punkty $ X $ i $ B_2 $ należą do tej samej półprostej o początku $ D $, więc punkt $ X $ pokrywa się z punktem $ B_2 $.

Analogicznie stwierdzamy, że punkty $ B_1 $, $ B_2 $, $ C_1 $, $ C_2 $ leżą na pewnym okręgu $ n $.

Okręgi $ m $ i $ n $ mają punkty wspólne $ B_1 $ i $ B_2 $, a przy tym leżą w rożnych płaszczyznach, gdyż według założenia punkty wspólne tych okręgów z płaszczyzną $ ABC $, tj. punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ nie są współliniowe.

Stąd wynika, że okręgi $ m $ i $ n $, a tym samym punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $, $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $ leżą na jednej sferze, c.n.d.

Uwaga. Początek powyższego dowodu można znacznie skrócić, powołując się na własności przekształcenia przez inwersję. Mianowicie w inwersji względem sfery o środku $ D $ i promieniu $ r = DA $ przecinającej płaszczyznę $ ABC $ wzdłuż okręgu $ k $ obrazem płaszczyzny $ ABC $ jest sfera przechodząca przez środek inwersji $ D $ i przez okrąg $ k $, tj. sfera $ s $. Obrazami punktów $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ są zatem odpowiednio punkty $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $, wobec czego

\[<br />
DA_1 \cdot DA_2 = DB_1 \cdot DB_2 = DC_1 \cdot DC_2 = r^2.<br />
\]

Dalszy ciąg dowodu pozostaje ten sam co poprzednio.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź