XVIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

\[<br />
(1)\qquad x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie (1). Jeśli któraś z liczb $ x $, $ y $, $ z $ nie jest zerem, to istnieje liczba całkowita $ d \geq 1 $ będąca ich największym wspólnym dzielnikiem, tzn.

\[<br />
x = ud,\    y = vd,\    z = wd,<br />
\]

gdzie $ u $, $ v $, $ w $ są liczbami całkowitymi, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba $ 1 $. Na mocy równości (1)

\[<br />
u^2d^2 + v^2d^2 + w^2d^2 = 2uvwd^3,<br />
\]

skąd po podzieleniu przez $ d^2 $ otrzymujemy równość

\[<br />
(2) \qquad  u^2 + v^2 + w^2 = 2uvwd.<br />
\]

Prawa strona równości (2) jest liczbą parzystą, zatem lewa strona jest także liczbą parzystą, a ponieważ według założenia liczby $ u $, $ v $, $ w $ nie mogą być wszystkie parzyste, zatem jedna z nich jest parzysta, a dwie inne - nieparzyste. Możemy przyjąć, że np.

\[<br />
u = 2k,\     v = 2m+1, \    w = 2n+1.<br />
\]

Podstawiając te wartości do równości (2) otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad  4(k^2 + m^2 + n^2 + m + n) + 2 = 4dk(2m+2)(2n+2).<br />
\]

Równość (3) jest fałszywa, gdyż prawa jej strona jest podzielna przez $ 4 $; a lewa - nie.

Wnioskujemy stąd, że jeżeli liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie (1), to $ x = y = z = 0 $.

Trójka $ (0, 0, 0) $ spełnia istotnie równanie (1), więc jest to jego jedyne rozwiązanie w liczbach całkowitych.

Uwaga. Rozwiązanie zadania można ująć nieco inaczej. Przypuśćmy, jak poprzednio, że trójka liczb całkowitych $ (x, y, z) $ jest rozwiązaniem równania (1). Jeżeli $ xyz = 0 $, to na mocy (1) również $ x^2+y^2+z^2 = 0 $, zatem $ x = y = z = 0 $. Jeżeli $ xyz \ne 0 $, to istnieją takie liczby całkowite nieujemne $ k $, $ m $, $ n $, że

\[<br />
x = 2^ku, \    y = 2^mv, \    z = 2^nw,<br />
\]

gdzie liczby $ u $, $ v $, $ w $ są nieparzyste. Możemy przyjąć, że np. $ k \leq m \leq n $. Po podstawieniu tych wartości do równania (1) otrzymujemy

\[<br />
2^{2k} u^2 + 2^{2m} v^2 + 2^{2n} w^2 = 2^{k+n+m+1} uvw,<br />
\]

a po podzieleniu przez $ 2^{2k} $

\[<br />
(4) \qquad  u^2 + 2^{2(m-k)} v^2 + 2^{2(n-k)} w^2 = 2^{m-k+n+1} uvw.<br />
\]

Równość (4) jest fałszywa, gdyż

a) jeżeli $ k = m = n $ lub jeżeli $ k \ne m $, $ k \ne n $, lewa strona równości (4) jest liczbą nieparzystą, a prawa - parzystą;

b) jeżeli $ k = m $, $ k \ne n $, prawa strona (4) jest podzielna przez $ 4 $, a lewa nie. Zatem $ (0,0,0) $ jest jedynym rozwiązaniem równania (4) w liczbach całkowitych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź