XVIII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{3a+1} + \sqrt{2a+3} + \sqrt{17-5a} \leq \sqrt{63},<br />
\]

dla wszystkich wartości $ a $, dla których lewa strona tej nierówności ma sens liczbowy.

Rozwiązanie

Lewa strona nierówności (1) ma sens liczbowy wtedy i tylko wtedy, gdy $ - \frac{1}{3} \leq a \leq \frac{17}{5} $; załóżmy, że liczlba $ a  $ spełnia ten warunek.

Zauważmy, że suma kwadratów wyrazów lewej strony (1) równa się $ 21 $; zadanie sprowadza się wobec tego do wyznaczenia maximum sumy trzech liczb o danej sumie kwadratów. Niech $ \sqrt{3a+1} = u_1 $, $ \sqrt{2a+3} = u_2 $, $ \sqrt{17- 5a} = u_3 $, wówczas

\[<br />
(2) \qquad  u^2_1 + u^2_2 + u^2_3 = 21.<br />
\]

Otóż

\[<br />
(3) \qquad  (u_1 + u_2 + u_3)^2 = u^2_1 + u^2_2 + u^2_3 + 2u_1u_2 + 2u_2y_3 + 2u_3u_1.<br />
\]

Ponieważ $ 2u_lu_k \leq u_i^2 + u_k^2 $ ($ i,k = 1,2,3 $), więc z (3) wynika, że

\[<br />
(u_1 + u_2 + u_3)^2 \leq 3(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2),<br />
\]

zatem wobec (2)

\[<br />
(u_1 + u_2 + u_3)^2 \leq 63,<br />
\]

stąd

\[<br />
u_1 + u_2 + u_3 \leq \sqrt{63}, c.n.d.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź